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TEOREMA DE GREEN

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by

Kristian Gv

on 13 May 2014

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Transcript of TEOREMA DE GREEN

¿Que Dice?....
Integral de Linea
La frontera de una región y-simple se puede descomponer en sus partes inferior y superior C1 y C2 y (en su caso) segmentos verticales a la izquierda y derecha B1 y B2 .
escribimos:

C+ = C1+ + B2+ + C2- + B1-

Una curva cerrada C que es frontera de una región elemental tiene dos orientaciones:

 la contraria al sentido de las manecillas del reloj (positiva)
 la del sentido de las manecillas del reloj (negativa)

Denotemos C con orientación opuesta a la de las manecillas del reloj por C+ , y con la orientación de las manecillas como C-

integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

*Garcia Vazquez Cristian

* Olivares Valdovinos Daniel

* Villeda Granillo Brian

* Piña Marquez Miguel

TEOREMA DE GREEN

HISTORIA
George Green (14 de julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. También aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema de Green.

El enunciado del teorema de Green se refiere a una integral de línea sobre una curva cerrada, simple y suave a trozos que constituye la frontera de una región plana, y el sentido en que se recorre C es el contrario al giro de las manecillas del reloj . La figura muestra una región R junto con la curva C la cual es su frontera. La integral de línea sobre C, recorrida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se denota por

¿Para que nos Sirve?.....

Este teorema relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada simple en el plano con una integral doble en la región encerrada por C.


Permite cambiar las integrales para su mejor resolución. Cabe remarcar que es de suma importancia que la curva sea cerrada, si esto no sucede, no es posible aplicar el teorema de Green.
TEOREMA
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:




Podemos hacer una descomposición semejante de la frontera de una región x-simple en trozos izquierdo y derecho, y (en su caso) segmentos horizontales superior e inferior
El Teorema de Green también es válido para regiones que se pueden descomponer en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Por ejemplo si la región D es un anillo y su frontera consiste en dos curvas C = C1 + C2 con las orientaciones
Si se aplica el Teorema a cada una de las regiones D1, D2 , D3 y D4 y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas interiores opuestas se cancelan entre sí
El Teorema de Green es muy útil porque relaciona una integral de línea a lo largo de la frontera de una región con una integral de área sobre el interior de la región o viceversa:
Podemos usar el teorema para obtener una fórmula para calcular el área de una región acotada por una curva cerrada simple. Esto es:

Si P(x , y) = -y Q(x , y) = x, entonces:

DEMOSTRACION
APLICACIONES DEL TEOREMA
El número de giros es un instrumento analítico que proporciona un método
matemáticamente preciso para contar el número de veces que el radio vector a gira alrededor de un punto
dado cuando va describiendo una curva determinada, y puede utilizarse para asignar una orientación a dicha
curva.
CURVAS DE JORDAN
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