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Interpolación de Lagrange aplicado a Matlab

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Interpolación de Lagrange aplicado a Matlab
INTRODUCCION
En la ingeniería y en cualquier ciencia, es común contar con un conjunto de datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo. Sin embargo, en muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimación en puntos entre los valores discretos.
La palabra interpolación significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos.
Matemáticamente el problema de interpolación es que dado un conjunto de puntos en la gráfica de una función, encontrar una función interpolante cuya gráfica pase por uno o más puntos seleccionados.


OBJETIVOS
Encontrar un polinomio interpolante que represente una función o un problema sin definición exacta, que pase por un conjunto de puntos dados.
Interpolación polinómica de Lagrange
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
¿Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los métodos fundamentales para encontrar una función que pase a través de datos es el de usar un polinomio.
GRACIAS
Nombres:

Percy Casas Roncal
Arnold Goicochea Velezmoro
Edwin Briseño
Elio Castro


La interpolación es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que no aparecen en la tabla.
Esto es, aproximar información discreta o funciones complejas a funciones analíticamente sencillas. Esto es muy necesario en el campo de la ingeniería
Sin embargo los métodos numéricos constituyen la base de procedimientos como derivación e integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

La interpolación polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre sí. Entre éstas se encuentran las series de potencias, la interpolación de Lagrange y la interpolación de Newton hacia atrás y hacia delante.
Un polinomio de orden N que pasa a través de N + 1 puntos es único. Esto significa que, independientemente de la fórmula de interpolación, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas.
Suponga que se dan N + 1 puntos como
Donde X0, X1, . . . son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en orden creciente. Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N + 1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como
Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultáneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solución de la computadora quizá no sea precisa. (Realmente las potencias de xi en la ecuación pueden ser números muy grandes, y si es así, el efecto de los errores por redondeo será importante.) Por fortuna, existen mejores métodos para determinar una interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre éstos están la fórmula de interpolación de Lagrange y la fórmula de interpolación de Newton hacia delante y hacia atrás.
Para presentar la idea básica que subyace en la fórmula de Lagrange, considere el producto de factores dados por:
Que se refiere a los N + 1 puntos antes dados antes. La función V0 es un polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2, . . ., XN, Si dividimos V0 (x) entre V0 (x0), la función resultante
donde el numerador no incluye (x – xi) denominador no incluye (xi – x). La función Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero en x = xj, j no pertenece a i. Así, si multiplicamos V0 (x), V1 (x), . . . , VN (x) por f0, f1, . . . , fN, respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden a lo más N e igual a f1 para cada i = 0 hasta i = N.
La fórmula de interpolación de Lagrange de orden N así obtenida se escribe como sigue (Conte / de Boor):
La Ec 1 es equivalente a la serie de potencias que se determina resolviendo la ecuación lineal. Parece complicado, pero incluso la memorización no es difícil si se entiende la estructura.
Formula de interpolación de Lagrange
Donde los ai son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N + 1 puntos dados da un sistema de ecuaciones lineales:
toma el valor de uno para x = x, y de cero para x = x1, x = x2, . . . , x = xN. En forma análoga, podemos escribir Vi como
Ejemplo:
Para la tabla que se presenta a continuación:
a) Obtenga la aproximación de Lagrange en todos puntos.
b) Interpole el valor de la función F(x) para x=1.8.

Método de Lagrange aplicado a Matlab

Aplicación
Función de interpolación de Lagrange
Ejemplo de aplicación:
Hallar la altura de una presa en el día 10 .Donde ‘x’ es número de días y ‘y’ altura de la presa

Función de interpolación de Lagrange (ecuación)
Función de interpolación de Lagrange (ecuación simplificada)
a) Observamos que hay cuatro puntos, por lo tanto el polinomio será de tercer grado:
P3(x) = L0(x) F(x0) +L1(x) F(x1) +L2(x) F(x2) +L3(x) F(x3).
En donde:
L0(x)=((𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3))/((𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)(𝑥0−𝑥3))
.
.
.
L3(x)=((𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2))/((𝑥3−𝑥0)(𝑥3−𝑥1)(𝑥3−𝑥2))

Reemplazando en la ecuación queda:
P3(x) =(x-1) (x-3) (x-6)(−3)/((0−1)(0−3)(0−6)) + (x-0) (x-3) (x-6)0/((1−0)(1−3)(1−6)) + (x-0) (x-1) (x-6)5/((3−0)(3−1)(3−6))
+ (x-0) (x-1) (x-3)7/((6−0)(6−1)(6−3))
Al efectuar la operación queda por métodos algebraicos:
P3(x)=-3/90𝑥^3 – 3/90𝑥^2 + 276/90x – 3
 
b) El valor de x=1.8 se sustituye en la ecuación polinomial de LaGrange de tercer grado obtenida arriba y se tiene haciendo los cálculos respectivos que:
F (1.8)=2 (aproximado).
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