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Wavelets(Ondeletas

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by

celia gama

on 29 November 2013

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Transcript of Wavelets(Ondeletas

Wavelets(Ondiculas)
Tipos de Wavelets
Existen diversos tipos de wavelets, sin embargo el uso de cada tipo depende de la aplicación que se requiera. Por ejemplo: análisis de señales, procesamiento de imágenes, compresión de informacion, etc.


Transformada de Wavelets

Como hemos mencionado las Wavelets se han convertido en una herramienta matemática de gran utilidad para el análisis de señales; siendo la Transformada Continua de Wavelets y la Transformada Discreta de Wavelets una propiedad de gran interés; debido que nos brinda la oportunidad de pasar del campo del espacio al de la frecuencia.
Transformada Continua
a.- escala, b.- traslación, f(x).- función a analizar

Nota: "a" debe ser diferente de 0, ya que si es así no existirá la wavelet pudiéndola notar como a=f/f0; donde f0 queda definida como la frecuencia central de la Wavelet.
¿Qué son las Wavelets?
Las Wavelets son familias de funciones en el espacio empleadas para analizar señales. Con ayuda de estas podemos conocer las características de espacio, tamaño y dirección de las señales analizadas.

Su forma general se define de la siguiente manera:





En donde "a" permite hacer dilataciones y contracciones de la señal, mientras que "b" nos permite realizar corrimientos en el Tiempo.
A lo largo de la historia se ha requerido herramientas para el análisis de señales, siendo el análisis de Fourier una herramienta muy recurrida. Sin embargo, en la actualidad se han encontrado deficiencias y problemas que conllevan al uso de Fourier para cierto tipo de señales.
Por lo que se han empleado nuevas herramientas como es el caso de las Wavelets.

Características
Por ende las wavelets son generadas a partir de funciones madre h(x).

Las wavelets se usan para el procesamiento de señales, debido a sus características. Algunas de estas son:

La transformada de Wavelets fue diseñada originalmente para estudiar señales no estacionarias.

Se trata de un análisis de tiempo-frecuencia.

Es capaz de revelar aspectos de los datos como tendencias, puntos de quiebre, discontinuidades en las derivadas, y auto-similaridad.

El análisis de wavelets puede muchas veces comprimir o eliminar ruido sin degradación apreciable.

Wavelet Klauder
• Simétrica alrededor de una línea vertical a través de su pico central en el tiempo cero.

• Se define por su baja frecuencia terminal (f1) y su alta frecuencia terminal (f2) y la duración de la señal de entrada (T). A menudo de 6 a 7 segundos.

• La parte real de la siguiente fórmula va a generar dicha ondicula.
Wavelet Haan
Una de las wavelets más conocida es la Haar, siendo esta la más simple y antigua; su forma se expresa de la siguiente manera:

Mexican hat
Su nombre proviene de la forma que toma su gráfica, su forma nos permite analizar señales de tipo simétrico y lineal en su fase.

Wavelet Gaussiana
Esta se define como la derivada de la función de densidad de probabilidad Gaussiana.
Wavelet Ormsby
Wavelet Ricker
Wavelets Morlet
Este tipo de wavelet es simétrica, y es útil para realizar transformadas Continuas de Wavelets.

Aunque es una wavelet sencilla, es muy utilizada para análisis de señales usando transformadas discretas y continuas.

Con esta Wavelet sólo es posible realizar la Transformada Continua de wavelets y puede ser simética o asimétrica según el valor de n.
• Ondicula de fase cero, aunque también se define como filtro de ondicula de Ormsby.

• Tiene numerosos lados laterales lobulados.

• Son necesarias cuatro frecuencias para especificar la forma de un filtro de Ormsby y son (5, 10, 40, 45 Hz).
Es una ondicula de fase cero con un pico central y dos pequeños lóbulos laterales.

Puede ser unívocamente especificada con sólo un único paramétro “f”.
f1 = frecuencia de corte bajo.
f2 = frecuencia de paso bajo.
f3 = frecuencia de paso alto.
f4 = frecuencia de corte alto.
Existe una gran variedad de wavelets, y como se ha mencionado cada una de ellas puede ser utilizada para un fin en particular. Sin embargo, todas las wavelets son funciones finitas que nos permiten realizar dilataciones y expansiones.
Pasos para crear una CWT
DWT por sus siglas en inglés, es un proceso que se usa para hacer más eficiente el cálculo de la transformada.
Transformada de ondícula discreta
El proceso consiste en separar la señal en sus componentes de baja frecuencia de las de alta frecuencia, de lo cual se obtienen dos señales que en conjunto son el doble de muestras de la señal original.
En ocasiones, debido a la cantidad tan grande de datos, se debe de realizar un muestreo reducido (downsampling)
Descomposición de la señal en varios niveles
El análisis de la señal involucra tanto filtraje como submuestreo.
La reconstrucción de la señal involucra, también filtrado y sobre-muestreo.
El sobre-muestreo consiste en alargar la señal rellenando de ceros entre los muestreos.
Reconstrucción de la Señal
La señal se puede reconstruir, a través de una operación conocida como síntesis
Transformada Inversa Continua de las Ondiculas
〖〖"C" es una constante que esta determinada por la ondicula que se a utilizado en la transformación. Esta constante se le conoce como constante de admisibilidad.
𝐻(w) es la Transformada de Fourier de h(x), que es la función madre de la ondicula utilizada en la transformación inicial. Básicamente C debe tener un valor finito para que se pueda hacer una transformación inversa
Transformada Inversa Discreta de las Ondiculas
Se realiza por medio de salida de los filtros pasa altas y pasa bajas multiplicada por su respuesta al impulso considerando el downsampling y upsampling. Estos resultados se suman desde la primer muestra hasta la ultima y asi sea reconstruido la señal discreta en el tiempo
Ricker wavelet breadth = 0.7797/f
Referencias.
Colmenares, R.A. (2011).
Análisis fractal basado en la transformada de ondicula para el reconocimiento de facies, campo Lama, Lago de Maracaibo
. Tesis publicada. USB
Harold, R. (1994).
Ricker, Ormsby, Klauder y Butterworth- A Choise of wavelets.
CSEG Recorder.
Hernández, M. (2003).
Análisis comparativo de algoritmos para reducción de ruido en señales utilizando Wavelets
. Tesis de licenciatura no publicada. Universidad de las Américas Puebla. Puebla. México.
Michel, M. et al. (1996),
Wavelet Toolbox For Use with MATLAB
, Version 1, 8-27.
Montejo, L.A., y Suárez, L.E. (2007).
Aplicaciones de la Transformada Ondicula (“WAVELET”) en Ingeniería Estructural.
Mecánica Computacional, 26, 2742-2753.
Pérez, T.A., Juanatey, M., Urbano, L., y Banchs, R. (1998).
Wavelet transform and filter Banks theory relationship
. A revision. Rev. Tec. Ing. , 21, 107-123.
El script realizado está basado del tutorial: Wavelet Toolbox for Use with Matlab, Version 1, Michel Misiti, Yves Misiti, Georges Oppenheim, Jean-Michel Poggi. Tiene la finalidad de diferenciar la tranformada wavelet continua de la discreta.

Para ello se graficaron dos señales; una ubicada en las librerías de Matlab (vonkoch) y la otra es la función seno, en ambas señales se calculó la transformada wavelet continua y discreta para posteriormente graficarlas.

Las familias elegidas fueron:

• Daubachies (db3)
• Symlets (sym2)
• BiorSplines (bior1.1)

Para todos los casos los cálculos se hicieron para un nivel de 5 o una escala de 32 (25=32).

MATLAB:
DIFEFERENCIA ENTRE LA TRANSFORMADA WAVELET CONTINUA Y DISCRETA
PARA VARIAS FAMILIAS DE WAVELETS

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