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Lógica Proposicional

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by

Wagner L. Berto

on 25 April 2016

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Transcript of Lógica Proposicional

Proposição
Todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Para a lógica, só as declarativas
Portanto excluem-se as:
- Proposições exclamativas, como a de nº 5.
- Proposições interrogativas, como a do nº 4.
- Proposições imperativas, como a do nº 6.
Princípios ou Axiomas
Exemplo
As proposições 1 e 3 são ambas verdadeiras, mas as seguintes são falsas:
Vasco da Gama descobriu o Brasil.
Dante escreveu os Lusíadas.
¾ é um número inteiro.
Valores Lógicos
Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição designam-se pelas letras V e F, respectivamente.
Lógica
Proposicional

Prof. Wagner L. Berto
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
Qualquer proposição é verdadeira ou é falsa, não podendo ser nada mais do que isso.
Proposições
Compostas
Formada pela combinação de duas ou mais simples através de um elemento de ligação denominado conectivo.
São geralmente designadas pelas letras
mai
úsculas.

Exemplo:
P:
Zenóbio é careca

e

Pedro é estudante
.
Q:
Zenóbio é careca

ou
Pedro é estudante
.
R: Se
Zenóbio
é careca
,
então

é feliz
.
Proposições
Simples
Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.
São geralmente designadas pelas letras
min
úsculas.

Exemplo:
p: Zenóbio é careca.
q: Pedro é estudante.
r: O número 25 é um quadrado perfeito.
Notação
As proposições são geralmente designadas pelas letras latinas p, q, R, S... (sem índices ou acentos).

Exemplo:
p: Leandro é baixo.
q: Alberto não vai ao show.
R: Ursos gostam de mel e não de abelhas.
Exemplos
1. A lua é um satélite da terra.
2. O filho do Presidente do Brasil, em 1970, era médico.
3. 3 x 5 = 5 x 3
4. Onde você mora?
5. Que belo jardim é o desta praça!
6. Escreva um verso.
7. Pedro estuda e trabalha.
8. Duas retas de um plano são paralelas ou incidentes.
9. Se Pedro estuda, então tem êxito na escola.
10. Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.
Conectivos
Palavras usadas para ligar proposições simples formando compostas.

Exemplo:
P: O número 6 é par
e
o número 8 é o cubo do número 2.
Q: O triângulo ABC é retângulo
ou
o triângulo ABC é isósceles
r:
Não
está chovendo.
S:
Se
Jorge é engenheiro,
então
sabe matemática.
T: O triângulo ABC é equilátero
se e somente se
é equiângulo.
Exercício
Faça o exercício 1 da lista de exercícios
Exercício
Faça o exercício 2 da lista de exercícios
Construção de
tabelas-verdade
1-Desenho das linhas:
Como uma proposição pode assumir os valores V ou F, o número de linhas é dado por 2 elevado a "n".
Exemplo:
1 elemento: 2 elevado a 1 = 2 linhas
2 elementos: 2 elevado a 2 = 4 linhas
3 elementos: 2 elevado a 3 = 8 linhas
Notação
Valor lógico para uma proposição simples
p
indica-se por:
V(p)

Para indicar que
p
é falso, escreve-se:
V(p) = F

Exemplo:
Considerando seguintes proposições simples:
p: O Sol é verde
q: um hexágono tem 6 lados
r: 2 é um número ímpar

Temos:
V(p)=F
V(q)=V
V(r) =F
2-Preenchimento:
inicia-se atribuindo V, F, V, F,... para o elemento mais à direita da tabela.
para o segundo elemento da direita para a esquerda, V, V, F, F,...
para o terceiro elemento, V, V, V, F, F, F...
e assim, sucessivamente.
Exercício
Faça o exercício 3 da lista de exercícios
Operações lógicas
Negação (~)
A negação de uma proposição p é representada por “não p”.
A negação de p indica-se com a notação “~p”.
“não p” tem o valor oposto do valor de p.
O valor lógico é verdade (V) quando p for Falso e falsidade (F) quando valor de p é verdadeiro.

Exemplo:
r: Roma é a capital da França (F)
V (~r) = ~V(r) = ~F = V

p: 2 + 3 = 5 (V)
V (~p) = ~V(p) = ~V = F
Operações lógicas
Conjunção ( . , ^ )
A conjunção de duas proposições p e q é representada por
“p e q”.
Indica-se com a notação: “p . q”
O valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras, a falsidade (F) nos demais casos.

Exemplo:



p . q: A neve é branca e 2 < 5 (V)
V (p . q) = V(p) . V(q) = V . V = V
Operações lógicas
Disjunção ( + , v )
A disjunção de duas proposições p e q é representada por
“p ou q”.
Indica-se com a notação: “p + q”
O valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.

Exemplo:



p + q : CAMÕES escreveu os Lusíadas
ou
2 + 2 = 3 (V)
V (p + q) = V(p) + V(q) = V + F = V
Linguagem Natural
Na linguagem comum a negação efetua-se antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada.
Exemplo
Considere a proposição:
q : Carlos é mecânico
sua negação é :
~q : Carlos não é mecânico
ou
~q : Não é verdade que Carlos é mecânico
Operações lógicas
Disjunção Exclusiva (+-, +o)
A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é representada por “ou p ou q” (p ou q, mas não ambos).
Indica-se com a notação: “p +- q”
O valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e falsidade(F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Exemplo:
P : Carlos é médico ou professor
Q: Mário é ou alagoano ou gaúcho
Operações lógicas
Condicional ( -> )
A condicional é representada por “se p então q”.
Indica-se com a notação: “p -> q”.
Pode ser lida das seguintes formas:
p implica q
p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
O valor lógico é a falsidade (F) quando p é verdadeira e q é falsa e verdade (V) nos outros casos.

Exemplo:
Se João é Engenheiro, então sabe matemática.
Observações
Na condicional “p -> q”,
p é o antecedente e
q o conseqüente
“->” é chamado de implicação.

O condicional não afirma a veracidade do antecedente e do conseqüente, mas a
relação existente entre eles.
Operações lógicas
Bicondicional ( <-> )
A bicondicional de uma proposição é representada por
“p se e somente se q” podendo ter a abreviação “p sse q”.
Indica-se com a notação: “p <-> q”
Pode ser lida das seguintes formas:
p é condição necessária e suficiente para q
q é condição necessária e suficiente para p
O valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas, verdadeiras ou falsas.


Exemplo:
João é careca, sse João não tem cabelo. Isso na verdade implica:
i) Se joão é careca, então João não tem cabelo e
ii) Se João não tem cabelo, então João é careca.
Tabelas-Verdade
Nela figuram todos os possíveis valores lógicos das proposições simples e das compostas correspondentes.

Exemplo:
Tabela-verdade de uma proposição simples

Tabela-verdade de uma
proposição composta cujas
proposições simples
componentes são p e q
r : “Todos os homens são elegantes”
sua negação é
~r : “Nem todos os homens são elegantes”

s : “Nenhum homem é elegante”
sua negação é
~s : “Algum homem é elegante”
Exceções
Exercício
Faça os próximos exercícios da lista de exercícios
Exceção
Exceção
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