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AJUSTE DE CURVAS. INTERPOLACIÓN DE

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by

Jessica Ramirez

on 8 February 2015

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Transcript of AJUSTE DE CURVAS. INTERPOLACIÓN DE

Interpolación polinómica de La'Grange
Interpolar significa estimar el valor desconocido de una
función en un punto, tomando una media ponderada de
sus valores conocidos en puntos cercanos al dado.
Generalidades
AJUSTE DE CURVAS. INTERPOLACIÓN DE
LA'GRANGE

En la interpolación lineal se utiliza un segmento rectilíneo que
pasa por dos puntos que se conocen. La pendiente de la recta
que pasa por dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) es
J.L. Lagrange descubrió que se puede encontrar este polinomio usando un método distinto: Si escribimos:
donde
y
son los polinomios coeficientes de Lagrange para los nodos x0 y x1.
Nótese que cada uno de los sumandos del miembro derecho de y, es un término lineal, por lo tanto P1(x) es un polinomio de grado <=1
.

Así que en la ecuación de la recta
y = m(x − x0) + y0 podemos sustituir m y obtener
y es un polinomio de grado <= 1 y la evaluación de P(x) en x0
y x1 produce
El polinomio interpolador de Lagrange cuadrático para los puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) es
El polinomio interpolador de Lagrange de grado N=3 para los puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) es
El grado del polinomio de interpolación de Lagrange es igual o menor que n.
El polinomio encontrado es único.
Si añadimos o quitamos puntos hay que recalcularlo otra vez.
La versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:
Generalizando, para construir un polinomio PN(x) de grado
≤<= N y que pase por N+1 puntos (x0, y0),(x1, y1), ...,(xN, yN) la
fórmula es

donde LN,k es el polinomio coeficiente de Lagrange para los nodos x0, x1, ..., xN definido por

Para cada k fijo, el polinomio coeficiente de Lagrange LN,k (x) tiene la siguiente propiedad:
EJEMPLO:
Se desea interpolar f(x)=tan(x) en los puntos
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es:
SOLUCIÓN:
Así, el polimomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los Li(x) y los valores de las abscisas:
EJERCICIO EN CLASE
EJERCICIO PARA EL TALLER
Un mecanismo muy conocido para endurecer los metales es el envejecimiento, donde se van formando las zonas de precipitación; lo cual obtiene una aleación más fuerte, dura y menos dúctil.
Estas propiedades mecánicas alcanzan un valor máximo durante la precipitación a una temperatura dada y, después, disminuyen gradualmente como consecuencia del sobreenvejecimiento. Este ablandamiento es consecuencia natural de la aproximación de la aleación al estado de equilibrio, al aumentar el tiempo durante el que la aleación se mantiene a altas temperaturas.
Se le hace un tratamiento de endurecimiento a una aleacion de aluminio 0,015%C a un atemperatura de envejecimiento de 90°C se obtienen los siguientes datos:
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