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Centros de gravedad y centroides

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by

Melissa Vega Aguirre

on 9 April 2015

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Centros de gravedad y centroides
Grupo 3
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• Analizar los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroide.

• Mostrar cómo se determina la ubicación del centro de gravedad y el centroide para un sistema de partículas discretas y un cuerpo de forma arbitraria.

• Utilizar los teoremas de Pappus y Guldinus para encontrar el área superficial y el volumen de un cuerpo que tiene simetría axial.

• Presentar un método para encontrar la resultante de una carga general distribuida y mostrar cómo se aplica para encontrar la fuerza resultante de una carga de presión causada por un fluido.

Centro de gravedad, centro de masa y el centroide de un cuerpo
En esta sección mostraremos primero cómo localizar el centro de gravedad para un cuerpo y después demostraremos que el centro de masa y el centroide de un cuerpo pueden desarrollarse con este mismo método.
Centro de gravedad.
Un cuerpo está compuesto de un número infinito de partículas de tamaño diferencial, y por tal razón si el cuerpo se ubica dentro de un campo gravitatorio, entonces cada una de estas partículas tendrá un peso dW, figura 9-1a. Estos pesos formarán un sistema de fuerzas aproximadamente paralelas, y la fuerza resultante de este sistema es el peso total del cuerpo, la cual pasa a través de un solo punto llamado el centro de gravedad, G, figura 9-1b.
Con los métodos delineados en la sección 4.8, el peso de un cuerpo es la suma de los pesos de todas sus partículas, es decir
+↓F_R= ∑▒〖F_Z;〗 W= ∫▒dW
La ubicación del centro de gravedad, medida desde el eje y, se determina al igualar el momento de W con respecto al eje y, figura 9-1b, con la suma de los momentos de los pesos de las partículas con respecto a ese mismo eje. Si dW se ubica en el punto (x ̃,y ̃,z ̃), figura 9-1a, entonces
(〖M_R)〗_Y= ∑▒M_Y ; x ̅W= ∫▒〖x ̃dW〗
De la misma manera, si se suman los momentos con respecto al eje x,
(〖M_R)〗_x= ∑▒M_x ; y ̅W= ∫▒〖y ̃dW〗
Por último, imagine que el cuerpo está fijo dentro del sistema de coordenadas y este sistema se gira 90° con respecto al eje y, figura 9-1c. Entonces la suma de los momentos con respecto al eje y es
(〖M_R)〗_Y= ∑▒M_Y ; z ̅W= ∫▒〖z ̃dW〗
Por lo tanto, la ubicación del centro de gravedad G con respecto a los ejes x, y y z se convierte en
x ̅=(∫▒〖x ̃dW〗)/(∫▒dW) y ̅=(∫▒〖y ̃dW〗)/(∫▒dW) z ̃=(∫▒〖z ̃dW〗)/(∫▒dW) Ec.(9-1)
Aquí
x ̅,y ̅,z ̅ son las coordenadas del centro de gravedad G, figura 9-1b.
x ̃,y ̃,z ̃ son las coordenadas de cada partícula en el cuerpo, figura 9-1a.

Centro de masa de un cuerpo.
A fin de estudiar la respuesta dinámica o el movimiento acelerado de un cuerpo, resulta importante localizar el centro de masa del cuerpo Cm, figura 9-2. Esta ubicación puede determinarse al sustituir dW = g dm en las ecuaciones 9-1. Como g es constante, se cancela y entonces
x ̅=(∫▒〖x ̃dm〗)/(∫▒dm) y ̅=(∫▒〖y ̃dm〗)/(∫▒dm) z ̃=(∫▒〖z ̃dm〗)/(∫▒dm) Ec.(9-2)

Centroide de un volumen.
Si el cuerpo de la figura 9-3 está hecho de un material homogéneo, entonces su densidad ρ (ro) será constante. Por lo tanto, un elemento diferencial de volumen dV tiene una masa dm = ρ dV. Al sustituir esto en las ecuaciones 9-2 y al cancelar ρ, obtenemos fórmulas que localizan el centroide C o centro geométrico del cuerpo; a saber
x ̅=(∫_V▒〖x ̃dV〗)/(∫_V▒dV) y ̅=(∫_V▒〖y ̃dV〗)/(∫_V▒dV) z ̃=(∫_V▒〖z ̃dV〗)/(∫_V▒dV) Ec.(9-3)

Estas ecuaciones representan un equilibrio de los momentos del volumen del cuerpo. Por tanto, si el volumen posee dos planos de simetría, entonces su centroide debe descansar a lo largo de la línea de intersección de estos dos planos. Por ejemplo, el cono de la figura 9-4 tiene un centroide que se encuentra sobre el eje y de modo que x ̅= (z ) ̅=0. La ubicación y ̅ puede encontrarse con una integración simple al elegir un elemento diferencial representado por un disco delgado de grosor dy y un radio r=z. Su volumen es dV= πr^2 dy= πz^2 dy y su centroide se encuentra en x ̃=0,y ̃=y,z ̃= 0
Centroide de un área.
Si un área se encuentra en el plano x-y y está delimitada por la curva y =f(x), como se muestra en la figura 9-5a, entonces su centroide pertenecerá a este plano y podrá determinarse a partir de integrales similares a las ecuaciones 9-3, a saber,
x ̅=(∫_A▒〖x ̃dA〗)/(∫_A▒dA) y ̅=(∫_A▒〖y ̃dA〗)/(∫_A▒dA) Ec.(9-4)
Estas integrales pueden evaluarse mediante una integración simple si usamos una franja rectangular como elemento de área diferencial. Por ejemplo, si se usa una franja vertical, figura 9-5b, el área del elemento es dA=y dx , y su centroide se localiza en x ̌= x y y ̃=y/2. Si consideramos una franja horizontal, figura 9-5c, entonces dA=x dy, y su centroide se ubica en x ̃=x/2 y y ̃=y

Centroide de una línea.
Si un segmento de línea (o barra) pertenece al plano x-y y puede describirse mediante una curva delgada y=f(x), figura 9-6a, entonces su centroide está determinado por
x ̅=(∫_L▒〖x ̃dL〗)/(∫_L▒dL) y ̅=(∫_L▒〖y ̃dL〗)/(∫_L▒dL) Ec.(9-5)

Aquí, la longitud del elemento diferencial está dada por el teorema de Pitágoras, dL= √((dx)^2+ (dy)^2 ) que también se puede escribir en la forma
dL= √((dx/dx)^2*〖dx〗^2+ (dy/dx)^2*〖dx〗^2 )
dL=(√(1+ (dy/dx)^2 ))dx
o bien
dL= √((dx/dx)^2*〖dy〗^2+ (dy/dx)^2*〖dy〗^2 )
dL=(√(1+ (dy/dx)^2 ))dy

Cualquiera de estas expresiones puede usarse; sin embargo, para su aplicación debe seleccionarse aquella que implique una integración más sencilla. Por ejemplo, considere la carga de la figura 9-6b, definida por y=2x^2, la longitud del elemento es dL= √(1+ (dy/dx)^2 ) dx y como dy/dx = 4x, entonces dL= √(1+ (4x)^2 ) dx. El centroide para este elemento se localiza en x ̌= x y y ̃=y

El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material que compone el cuerpo es uniforme u homogéneo.
Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la “resultante” para el sistema.
En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo, figura 9-7.
El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma, se puede determinar mediante integraciones simples por el siguiente procedimiento.
Elemento diferencial.
Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la integración.
Para líneas, el elemento se representa mediante un segmento diferencial de línea con longitud dL.
Para áreas, por lo general el elemento es un rectángulo de área dA, con una longitud finita y ancho diferencial.
Para volúmenes, el elemento puede ser un disco circular de volumen dV, con un radio finito y espesor diferencial.
Localice el elemento de manera que toque el punto arbitrario (x, y, z) sobre la curva que define la frontera de la forma.
Tamaño y brazos de momento.
Exprese la longitud dL, el área dA, o el volumen dV del elemento en términos de las coordenadas que describen la curva.
Exprese los brazos de momento x ̃,y ̃,z ̃ para el centroide o centro de gravedad del elemento en términos de las coordenadas que describen la curva.
Integraciones.
Sustituya las formulaciones para x ̃,y ̃,z ̃ y dL, dA o dV en las ecuaciones apropiadas (ecuaciones 9-1 a 9-5).
Exprese la función en el integrando en términos de la misma variable aplicada al espesor del elemento.
Los límites de la integral se definen a partir de las dos ubicaciones extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos se “suman” o la integración se realiza, toda la región queda cubierta.

Puntos Importantes
Procedimiento para el análisis
Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo
Centro de gravedad
Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones 9-1 son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos. Considerando la partícula arbitraria ubicada en (x, y, z) y con peso dW, figura 9-2, las ecuaciones resultantes son:
Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW Debe ser expresado en términos de su volumen asociado dV. Si 'Y representa el peso específico del cuerpo, medido como un peso por volumen unitario, entonces dW= 'YdV y por tanto:








Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.

Centro de masa.
La densidad p, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación 'Y = pg, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo esta relación en las ecuaciones 9-4 y cancelando g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con p reemplazando a 'Y) que se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo.
Centroide
El Centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelara a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones 9-4. Las fórmulas resultantes definen el Centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Consideraremos tres casos específicos.
Volumen. Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dW la ubicación del Centroide C(x, y, z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los "momentos" de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son:

Área.
De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una placa o un cascarón, figura 9-4, se pueden encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados, esto es:
Línea.
Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, figura 9-5, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dL con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta en:
Recuerde que al aplicar las ecuaciones de la 9-4 a la 9-7 es mejor elegir un sistema coordenado que simplifique tanto como sea posible la ecuación usada para describir las fronteras circulares del objeto. Por ejemplo, las coordenadas polares generalmente son más apropiadas para áreas que tengan fronteras circulares. Los términos X, y, z en las ecuaciones se refieren a los "brazos de momento" o coordenadas del centro de gravedad o Centroide del elemento diferencial usado. De ser posible, este elemento diferencial debe elegirse de manera que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección. Cuando se hace así, sólo es requerida una integración simple para cubrir toda la región.
Simetría.
Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o completamente especificados usando condiciones de simetría. En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje. Por ejemplo, el centroide c para la línea mostrada en la figura 9-6 debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que para toda longitud elemental dL a una distancia +x a la derecha del eje y hay un elemento idéntico a una distancia -x a la izquierda. Por tanto, el momento total para todos los elementos con respecto al eje de simetría se cancelará; esto es, diferencial de x respecto de L igual a 0. (Ecuación 9-7), por lo que x = O. En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes, figuras 9-7 y 9-8.
9.4 Resultante De Una Carga General Distribuida
En la sección 4.9 analizamos el método usado para simplificar una carga distribuida en dos dimensiones a una sola fuerza resultante que actúa en un punto específico. En esta sección generalizaremos este método para incluir superficies planas que tienen una forma arbitraria y están sometidas a una distribución de carga variable. Por ejemplo, considere la placa plana de la figura 9-23a, la cual está sometida a la carga definida por p=p(x,y)Pa, donde 1 Pa (pascal) = 1 N/m2. Conocida esta función, podemos determinar la fuerza resultante FR que actúa sobre la placa y su ubicación (x ̅,y ̅), figura 9-23b.
Magnitud de la fuerza resultante.
La fuerza dF que actúa sobre el área diferencial dA m2 de la placa, ubicada en el punto arbitrario (x, y), tiene una magnitud de dF= [p(x,y)N/m^2 ] (dA m^2 )= [p(x,y) dA] N Observe que p(x, y) dA = dV, el elemento de volumen diferencial en azul que se muestra en la figura 9-23a. La magnitud de FR es la suma de las fuerzas diferenciales que actúan sobre toda el área superficial A de la placa. Entonces
F_R= ∑▒F; F_R= ∫_A▒p (x,y)dA = ∫_A▒dV=V Ec.(9-11)
Este resultado indica que la magnitud de la fuerza resultante es igual al volumen total bajo el diagrama de carga distribuida.

Ubicación de la fuerza resultante.
. La ubicación (x ̅,y ̅) de FR se determina al establecer los momentos de FR iguales a los momentos de todas las fuerzas diferenciales dF con respecto a los ejes y y x respectivos: a partir de las figuras 9-23a y 9-23b, con la ecuación 9-11, esto resulta en,
x ̅= (∫_A▒〖x p〗 (x,y)dA)/(∫_A▒p (x,y)dA) =(∫_V▒xdV)/(∫_V▒dV) y ̅= (∫_A▒〖y p〗 (x,y)dA)/(∫_A▒p (x,y)dA) =(∫_V▒ydV)/(∫_V▒dV) Ec.(9-12)
Por lo tanto, la línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del centro geométrico o centroide del volumen bajo el diagrama de carga distribuida.

Ejemplos
Bibliografía
9.5 Presión en fluidos
De acuerdo a la ley de Pascal, un fluido en reposo crea una presión p en un punto siendo la misma en todas las direcciones.

La magnitud de p depende del peso especifico γ o de la densidad masica ρ del fluido, y de la profundidad z desde la superficie a la que se encuentra el punto considerado

• Esto solo es válido para fluidos incompresibles

• Un gas es un fluido compresible y la anterior ecuación no puede usarse.

Placa plana de anchura constante

• Considere una placa rectangular de espesor constante sumergida en un
liquido de peso especifico γ

• El plano de la placa forma un ángulo con la horizontal según se muestra:

Placa plana de anchura constante
Como la presión varia linealmente con la profundidad, la presión sobre la placa se representa por un volumen trapezoidal, teniendo una intensidad de:
p1= γz1 en z1, y p2 = γz2 en z2

Magnitud de la fuerza resultante FR = volumen del diagrama de cargas

Placa plana curvada de anchura constante
Cuando la placa sumergida esta curvada, la presión que actúa normal a la placa cambia continuamente de dirección
Se puede determinar FR, la localización del centroide C, y del centro de presiones P, por integración

Placa plana de anchura variable
Consideramos la distribución de carga que actúa sobre la superficie de una placa sumergida de espesor variable.

La presión uniforme p = γz (fuerza/área) actúa sobre dA, la magnitud del elemento de fuerza dF
dF = dV = p dA = γz (xdy’)

Placa plana de espesor variable
El centroide C' define el punto en el que FR actúa:
El centro de presión P que se encuentra en la superficie de la placa justo debajo del centroide del volumen del diagrama de presiones de C viene dado por:
Este punto no coincide con el centroide de la superficie de la placa

Determine la magnitud y localización de la fuerza hidrostática resultante sobre la placa sumergida AB. La placa tiene un anchura de 1.5m; ρw = 1000kg/m3.
Solución:
La presión del agua a las profundidades A y B son:

Para las intensidades de las cargas en A y B,



Para la magnitud de la fuerza resultante FR creada por la carga distribuida.


Esta fuerza actúa sobre el centroide del área, a una altura:


Medida desde B.
El mismo resultado se puede obtener considerando dos componentes de FR definidas por el triangulo y rectángulo.
Cada fuerza actúa a través de su centroide asociado y tiene una magnitud de:

Y resulta:
La localización de FR se determina sumando los momentos respecto a B:
Ejemplo 9.11
Localice en el centro de masa del ensamble que se muestra en la figura 9.18a. La densidad del cono truncado es ρ_(c= )8 Mg / m^3, y la de la semiesfera es ρ_h = 4 Mg / m^3. En el centro del cono truncado hay un agujero cilíndrico de radio igual a 25 mm.

--Partes compuestas. Puede considerarse que el ensamble que se muestra consiste en cuatro segmentos como se indica en la figura 9-18b. Para los cálculos, ⓷ y ⓸ deben considerarse como volúmenes “negativos” para que los cuatro segmentos, al sumarse, resulten en la forma total compuesta que se aprecia en la figura 9-18a

--Brazo de momento. Con la tabla de la cubierta posterior interina, los cálculos para el centroide z ̃ de cada pieza se muestran en la figura.
Sumatorias. Debido a la ximetría, observe que

x ̅= y ̅ = 0
Como W = mg, y g es constante, la tercera de las ecuaciones 9-6 toma la forma de z ̅ = ∑▒〖z ̃m 〗/ ∑▒m. La masa de cada pieza puede calcularse a partir de m= (_ρ^ )V y usarse en los cálculos. Además, 1 Mg / m^3 = 〖10〗^(-6) kg / 〖mm〗^3, de manera que

Entonces
Ejemplo: 9.13
Determine el área superficial y el volumen del sólido completo que se muestra en la figura 9-22a
SOLUCIÓN
Área superficial. El área superficial se genera al girar 2π radianes alrededor del eje z los cuatro segmentos de línea que se muestran en la figura 9-22b. Las distancias desde el centroide de cada segmento hasta el eje z también se muestan en la figura. Aplicando la encuación 9-7 se obtiene

Volumen. El volumen del sólido se genera al girar los dos segmentos de área que se muestran en la figura 9-22c, 2π radianes alrededor del eje z. En la figura también se muestran las distancias desde el centroide de cada segmento hasta el eje z. Si aplicamos la ecuación 9-10, tenemos
Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la placa rectangular sumergida que se muestra en la figura 9-28a. La placa tiene un ancho de 1.5 m; ρ_w=1000 kg / m^3
SOLUCIÓN
Las presiones del agua a las profundidades A y B son

Como la placa tiene un ancho constante, la carga de presión puede verse en dos dimensiones como se muestra en la figura 9-28b. Las intensidades de la carga en A y B son
De la tabla de la cubierta posterior interna, la magnitud de la fuerza resultante F_R creada por esta carga distribuida es
Esta fuerza actúa a través del centroide del área.
h= 1/3 ((2 (29.43)+73.58)/(29.43+73.58)) (3) = 1.29 m



medida hacia arriba desde B, figura 9-28b.

HIBBELER Rushel C.
Ingeniería Mecánica Estática.
Traducida por: Jesús Elmer Murrieta Murrieta
Revisión Técnica: Felipe de Jesús Hidalgo Cavazos
Edición Décimo Segunda.
Pearson Educación, México, 2010.
ISNB 978- 607- 442 - 561 - 1
Páginas: 672.
9.2 Cuerpos Compuestos.-

Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos "más simples" conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Un cuerpo de este tipo a menudo puede ser seccionado en sus partes o componentes, y si se conoce el peso y la ubicación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para determinr el cento de gravedad de todo el cuerpo.
Se obtienen formas análogas a las ecuaciones; sin embargo, en vez de tomar un número infinito de pesos diferenciales tenemos un número finitos de pesos . Por lo tanto.



X,y,z Representan las coordenadas del centro de gravedad G del cuerpo compuesto.
X,Y,Z representan las coordenadas del centro de gravedad de cada parte componente del cuerpo. ∑▒W es la suma de los pesos de todas las partes componentes del cuerpo, o simplemente el peso total del cuerpo.
Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico constantes, el centro de gravedad coincide con el centroide del cuerpo. El centroide para líneas áreas y volúmenes compuestos puede encontrase con relaciones análogas a las ecuaciones: Sin embargo, a las W las reemplazan: L, A y V respectivamente. Los centroides para formas comunes que a menudo constituyen un cuerpo compuesto están dados en la tabla que se muestra en la cubierta posterior interna de esté libro.


9.3 Teorema de Pappus y Guldinus.-
Los dos teoremas de Pappus y galdinus se usan para encontrar el área superficial y el volumen de cualquier cuerpo de revolución. Fueron desarrolados primero por Pappus de Alejandría durante el siglo IV a.C. y luego reformulados por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643)
Área superficia
l
Si giramos una curva plana alrededor de un eje que no interseque la curva, generaremos un área superficial de revolución. Por ejemplo, el área superficial de la figura 9-19 se forma al girar la curva d longitud. L alrededor del eje horizontal. Para determinar está área superficial , consideraremos primero el elemento lineal diferencial de longitud dL. Si esté elemento gira 2π radianes alrededor del eje, se generará un anillo con un área superficial de dA=2πr∫▒rdL
Como ∫▒rdL=rL entonces A=2πrL si la curva se gira sólo un ángulo de θ radianes, entonces

Donde:
A= Área superficial de revolución
θ =Ángulo de revolución medido en radianes, θ≤2π
r= Distancia perpendicular desde el eje de revolución hasta el centroide de la curva generatriz.
L= longitud de la curva generatiz
Por lo tanto el primer teorema de Pappus y Galdinus establece que el área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia viajada por el centroide de la curva al generar el área superficial.

Volumen

El volumen puede generarse al girar el área plana alrededor de un eje que ni interseque el área. Por ejemplo, si giramos el área sombreada A en la figura alrededor del eje horizontal, se genera el volumen mostrado. Este volumen se puede determinar si se gira primero el elemento diferencial de área de dA 2π radianes alrededor del eje, de manera que se genere un anillo con el volumen dV=2π dA. Entonces todo el volumen es V=2π ∫▒rdA. Sin embargo ∫▒rdA=rA, ecuación, de modo que V= 2πA. Si el área sólo se gira a través de un ángulo θ radianes, entonces.
Formas compuestas.-

También podemos aplicar los dos teoremas anteriores a líneas o áreas que están integradas por una serie de partes componentes. En este caso, el área superficial total o el volumen generado es la suma de las áreas superficiales o volúmenes generados por una de las partes componentes. Si la distancia perpendicular desde el eje de revolución hasta el centroide de cada parte componente es r, entonces.
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