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DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

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Andrea Velásquez

on 11 May 2014

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DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
dEMOSTRACIÓN DE PAPPUS

DEMOSTRACIÓN DE BHASKARA
Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que c2 = a2 + b2

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:
c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2
expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado c2 = a2 + b2, y el teorema queda demostrado.

DEMOSTRACIÓN DE LEONARDO DA VINCI
En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Su demostración es una de las más hermosas.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
1.Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
2.Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
•De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
•Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices: ◦A de ADGB y A de CIJA
◦B de ADGB y J de CIJA


Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

demostración de garfield
James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos [5] , desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:
S_{trapecio}=\frac {a+b}{2} \cdot (a+b)
como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
S=2 \cdot \frac {ab}{2} + \frac {c^2}{2}
igualando:
\frac {a+b}{2} \cdot (a+b) = (ab) + \frac {c^2}{2}
lo que finalmente nos da c2 = a2 + b2, y el teorema está demostrado.

DEMOSTRACIÓN DE PLATÓN
La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.
Unos 625 años después que Euclides, Pappus parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en Elementos I.36:
Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.
Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.
Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:
• Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
• El lado CI es igual al lado CB
En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.
1. Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
2. Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.
De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.
Análogamente:
1. CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
2. CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.
De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.
El teorema de Pitágoras queda demostrado.


demostración de THABIT IBN QURRA
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
2 2 2 Matemáticamente se expresa a =b +c siendo a la hipotenusa y b y c los
catetos.
DEMOSTRACIÓN DE VIETA
DC = DA + AC = AB + AC

CE = AE - AC = AB - AC

ya que AE = AB por ser este el radio de la circunferencia.

Usamos la definición de potencia de un punto, que expresamos así:

DC · CE = CB2 (1)

DC · CE = (AB + AC)·(AB - AC)

DC · CE = AB2 - AC2 (2)

Igualamos (1) y (2):

CB2 = AB2 - AC2

AB2 = CB2 + AC2
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