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Sistemas de ecuaciones lineales

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Transcript of Sistemas de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:




Donde x e y son las incógnitas, c y f son los términos independientes y a,b,d y e son los coeficientes de las incógnitas. El problema de un sistema de ecuación es hallar el valor de las variables x e y.

Métodos:
Existen 5 métodos de soluciones de los sistemas de ecuaciones para poder hallar los valores de las incógnitas x e y, estos son:
1.Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones (se prefiere que sea la que tiene menor coeficiente) y remplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
Igualación:
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. Al igual que el método de sustitución se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita.
Reducción
El método de reducción consiste en eliminar una de las incógnitas, para ello se amplifica una o ambas ecuaciones por ciertos factores de modo que el coeficiente de una de las incógnitas de una de las ecuaciones sea el inverso aditivo de la misma incógnita en la otra ecuación.
Finalmente se suman ambas ecuaciones para así poder eliminar dicha incógnita y así se forma una ecuación de primer grado para poder hallar la incógnita restante .
1.Sustitución
2.Reducción
3.Gráfica
4.Igualación
5.Cramer
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación:
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=1, ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones para obtener el valor de y :
Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la variable y, en este caso la reemplazamos en la segunda ecuación:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por 4 para poder cancelar la incógnita y.
Al multiplicar dicha ecuación, nos queda lo siguiente:
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de Y es igual a:
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método solo resulta eficiente en el plano cartesiano.
Para poder resolver un sistema de ecuación mediante este método se deben seguir los siguientes pasos:
Gráfico
1. Cada ecuación se pasa a su ecuación principal es decir ;
y=mx+n , donde m indica la pendiente y n el punto donde corta el eje y.
2. Se realiza una tabulación para cada una de las dos ecuaciones de primer grado
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados
4. Por último cuando gráficamos nos podemos dar cuenta de que pueden existir tres posibilidades que:
*
Ambas rectas se intercepten

*
Ambas rectas sean coincidentes

*
Ambas rectas sean paralelas

Método determinante : Cramer
se denomina determinante a una ordenación de números reales en filas y columnas:
Al sistema :
Se le asignan 3 determinantes.
Uno llamado determinante principal formada por los coeficientes de las incógnitas x e y:

Las otras 2 se llaman determinantes de las variables


que se obtiene reemplazando las columna respectiva por las constantes del sistema, en ese orden:
Finalmente para obtener los valores de x e y se calcula:
y
pudimos observar del gráfico anterior
que las rectas se interceptan
EJEMPLO
Si despejamos la incógnita "X" en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
EJEMPLO :
En el sistema :
Eje: Álgebra
Nivel: Segundo Año Medio
Objetivos Fundamentales:
Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Contenidos Mínimos Obligatorios:
Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos.
Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados.
Representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones


Aprendizajes Esperados
Que los estudiantes sean capaces de poder solucionar los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de los 5 diferentes métodos que existen.

Del sistema:
Calculamos la determinante principal:
Luego buscamos las determinantes de las variables

Integrantes:

Ignacio Álvarez
Jessica Torres
Scarlet Poblete
Carrera:
Pedagogía en Matemática y Computación
Profesor: Luis Rojas
Ramo:
Números Reales y Complejos 2
Fecha: 13 de Agosto del 2013
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