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Transformada de Laplace

presentacion
by

Rommel Torres

on 25 April 2013

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Transcript of Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace Definición PROPIEDADES TRANSFORMADA INVERSA Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir, L{f(t)} = F(s), se dice entonces que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe t s f(t) F(S) Que es una Integral impropia? Si g(x) está definida para a ≤ x < ∞, donde "a" es una constante, entonces la integral impropia, esta definida por: Cuando existe el limite se dice que la integral impropia es convergente; de otro modo, la integral impropia es divergente. Entonces la Transformada de Laplace es una integral Impropia donde f(t) sea definida para 0 ≤ t < ∞ y "s" sea una variable real arbitraria.
La Transformada de Laplace de f(t),expresada por L{f(t)}, o bien por F(s), es para todos los valores de s para los cuales es convergente Evalue L{1} siempre que s>0 ya que de lo contrario es divergente.
De este ejemplo deducimos que L{k}= k/s Linealidad: para una combinación lineal de funciones podemos escribir siempre que las integrales converjan para s>0 Por lo que se tiene que Por Ejemplo Orden exponencial Decimos que la función R, es de orden exponencial si existen números k, M>0 y T>0 tales que para t>T esto significa que la función f(t) esta por debajo de una función exponencial Observación: algunas veces, para verificar que una función f es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite: Ejemplo
Compruebe que es de orden exponencial.
Solución
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital


Entonces es de orden exponencial. Por lo tanto si f es una función continua en [0,∞[ y de orden exponencial entonces L{f(t)} existe para s>c Ejemplo La Función que se muestra es continua por tramos y de orden exponencial para t>0. Puesto que se define en 2 tramos L{f(t)} se expresa como la suma de 2 integrales Propiedad de la derivación que se resume en: Por ultimo, para resolver ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace necesitamos saber las trasformadas inversas EJEMPLO de la tabla tenemos que a) b) División termino a termino y linealidad Fracciones Parciales SOLUCIÓN DE EDO LINEALES El procedimiento se resume en el siguiente diagrama Encuentre la y(t) desconocida
que satisface la ED y las
condiciones iniciales La ED transformada
se convierte e una ecuación
algebraica Y(s) Resuelva la ecuación trasformada
para Y(s) Solución del y(t) del
problema original EJEMPLO Use la transformada de Laplace para resolver la siguiente ecuación Utilizando la propiedades de las derivadas vistas anteriormente
tenemos que: pero como y(0)=6 y por lo que la ecuación nos queda como: Despejamos Y(s) Utilizamos el método de fracciones parciales nos queda donde nos queda el sistema { A=8 A+B=6 3B+C=0 nos queda que B=-2 y C=6 y la ecuación resultante seria Ahora Sacamos la transformada inversa para ambos miembros , especialmente utilizando el método de división termino a termino para la ultima expresión racional Para poder resolver este tipo de trasformadas necesitamos dominar las trasformadas normales, ya que estas no están definidas, el truco es convertir una expresión en una función conocida y por tablas sacar la función buscada Esta transformada están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada, en otra función de diferente variable. OTRAS PROPIEDADES Por: Rommel Torres
Cristian Tuitice
José Zurita
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