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Cálculo III - Integral de superfície aplicado a engenharia

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Thiago Peiter

on 17 September 2013

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Transcript of Cálculo III - Integral de superfície aplicado a engenharia

Atividade prática supervisionada Integral de superfície aplicado a engenharia
Fluxo de água em uma turbina
As turbinas são projetadas especificamente para transformar a energia hidráulica (a energia de pressão e a energia cinética) de um fluxo de água em energia mecânica na forma de torque e velocidade de rotação.

Turbinas
Sendo o diâmetro da tubulação de 10,5 m:
Calcular o fluxo de água (vazão) em uma turbina na forma de um cilindro com equação
, sendo o campo de velocidade de escoamento dado pelo seguinte campo vetorial:

Problema
O fluxo através do cilindro será dado apenas pelo fluxo que ocorre no plano que passa pela seção transversal do cilindro, visto que, as paredes do cilindro são impermeáveis e não permitem o escoamento do liquido.

Para a resolução da problemática usaremos a integral de superfície.
Desenvolvimento geral
Podemos aplicar as integrais de superfície para determinação do fluxo.
Sendo expressado pela seguinte equação:
F(x,y,z) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k

Sabendo-se o campo de velocidade do escoamento pode-se determinar o fluxo através da turbina pela seguinte expressão:


Desenvolvimento específico
Em que r (u, v) é a parametrização da superfície e o vetor jacobiano da transformação de coordenadas.

A parametrização da superfície é dada através de coordenadas polares para uma circunferência, sendo:

Para determinar o vetor jacobiano é necessário determinar as derivadas parciais da função r em função dos parâmetros u e v.

Produto vetorial dos vetores direcionais:



Assim, as derivadas parciais ficam:
Aplicação
Segundo dados da Itaipu a vazão informada é de 700 m3/s, portanto, podemos aplicar integrais de superfície para determinar a vazão de diversos problemas de Engenharia. O resultado do cálculo foi satisfatório e em nosso cálculo chegamos ao resultado de 700,00 m³/s, que coincide com ao fluxo da turbina de Itaipu, que é de 700 m³/s.

Logo a integral do fluxo fica:

CONCLUSÃO
Concluímos que as Integrais de Superfície é de uma importância fundamental em inúmeras aplicações, em especial, e como abordado neste trabalho no fluxo de água em uma turbina, cálculo imprescindível para o dimensionamento de uma usina hidrelétrica.


Discentes:
Nathália Ribeiro
Samila M. Zeni
Thiago V. Peiter
Weslley N. Escher

A água de entrada é levada através de um duto fechado até um conjunto de lâminas curvas (palhetas), bocais ou injetores que transferem a energia da água para um rotor.
Definição:
Seja sigma uma superfície lisa cuja equação vetorial é r = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k
Onde (u, v) variam em uma região R do plano u e v. Se f(x, y, z) for contínua emσsigma, então:
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