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Espacio muestral, evento y conteo

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by

Jose Marroquin

on 21 August 2015

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Transcript of Espacio muestral, evento y conteo

FIN DE LA PRESENTACIÓN

Clasificación
Una permutación en términos comunes, es la acción de cambio o intercambio de una propiedad o ubicación por otra.

Cada uno de los diferentes arreglos que pueden hacerse con una parte de los elementos o con todos los elementos de un conjunto dado, se llama permutación.


PERMUTACIONES:

Ejemplos

Ejemplo Ilustrativo:
Cuántos números diferentes de tres dígitos, pueden formarse con los seis dígitos siguientes: 1,5,6,7,3 y 8?

Aplicando el procedimiento

(observe que el número de elementos del conjunto “n” no es igual al número de elementos de subconjunto r)

El número total de componentes del grupo en n = 6

El número de dígitos del número a formar es r = 3
 
P(n,r) = nPr = n!/(n-r)!
P(6,3) = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6x5x4x3x2x1/3! = 720/6 = 120

Respuesta: se pueden formar 120 números de tres dígitos.

Fórmula: P(n,r)… r < n = nPr = n!/(n-r)!
En donde:
P = permutación
n = número total de elementos del conjunto en permutar
r = número de veces o de elementos que serán permutados.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN:

1. Existen dos categorías de datos. Una es relativa a letras y la otra a números.
Así se tienen
n1= 27, n2 = 26, n3=25
n4=10, n5 = 9, n6 = 8 y n7 = 7

2. Al valuar los datos en la fórmula se tiene que:
Existen 27x26x25x10x9x8x7 tarjetas diferentes para imprimir lo que es 88,452,000 de tarjetas.

Ejemplo ilustrativo
 
Cuántas tarjetas de crédito pueden imprimirse, si cada una de ellas consta de 3 letra diferentes seguidas de 4 dígitos diferentes?

Se fundamenta en la consideración de un experimento que consta de varias operaciones independientes, si n1 representa todos los resultados posibles de la primera operación, n2 los resultados de la segunda operación y así sucesivamente hasta np, entonces el número de maneras en que las operaciones pueden realizarse en el orden indicado es el producto de:

n1 * n2 * n3 …. np

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Ejemplo Ilustrativo

Calcular el factorial de 3 (3!).

Aplicación del procedimiento:
Se multiplicarán 3 factores
El primer factor es el número 1.
El segundo factor es el número 2 (1+1=2).
El tercer factor es el número 3(2+1=3); ya no es necesario seguir el procedimiento, porque se tienen los tres factores
Se efectúa la multiplicación de los factores: 1x2x3 = 6 en donde se tiene que 3! = 6


Notación factorial.
Se denota por el símbolo “n!” que se lee n factorial, en donde n puede ser cualquier número entero positivo.

Por definición se tiene que el factorial de cero (0) es igual a 1: 0! = 1
CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA
Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos

Los eventos se clasifican de la siguiente forma:
Independientes: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Estos no se ven afectados por otros independientes. EJEMPLO: el color del zapato y la probabilidad que llueva hoy.

Dependientes: P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro. EJEMPLO: repaso, calificaciones.

Mutuamente excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B)
aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. EJEMPLO: cara o escudo.

No excluyentes entre si: P(AUB)= P(A) +P(B)-P(A ∩ B).
Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro. EJEMPLO: que una persona sea doctor que tenga 56 años, ser estudiante y ya estar casado.

Eventos
El total de miembros del grupo es igual a 10 + 11, o sea que n = 21
El valor r es igual al número de miembros que conformarán cada comité, r = 4
Aplicando la fórmula:
C(21,4) = 21C4 = (21 4) = 21! / 4! (21-4)! = 5,985

Respuesta: Puede elegirlos de 5,985 formas diferentes.

Ejemplo ilustrativo
Una clase tiene 10 niños y 11 niñas, de cuántas maneras puede el maestro elegir un comité de 4 miembros?

Aplicación del procedimiento:
En donde
C(n,r) = nCr = (n r) = n combinaciones de r elementos
C = Combinaciones
n = número total de elementos del conjunto a combinar.
r = número de veces o de elementos que serán combinados.
Fórmula: C(n,r) = nCr = (n r) = n! / r! (n-r)!
COMBINACIONES
Ejemplo ilustrativo
De cuántas maneras se podían acomodar 6 de los caballeros del Rey Arturo, alrededor de la Mesa Redonda?

Aplicando el procedimiento

Se tienen 6 miembros del grupo, o sea n = 6

Al valuar “n” en la fórmula.

(n-1)! = (6-1)! = 5! = 5x4x3x2x1 = 120

Respuesta:
Seis de los caballeros de la Mesa redonda del Rey Arturo se podían acomodar de 120 formas distintas.

fórmula. (n – 1)!
PERMUTACIONES CIRCULARES

El número total de componentes del grupo, en este caso el número total de letras, es n = 7
Existen 4 diferentes subgrupos de acuerdo a la igualdad (repetición) de cada letra:
2 son m, luego n1 =2!
3 son o, luego n2 = 3!
1 es n, luego n3 = 1!
1 es i luego n4 =1!

Aplicando la fórmula, se tiene: n!/n1! N2! … nr!

7!/2! 3! 1! 1! = 7x6x5x4x3x2x1/2x1 3x2x1 x 1 x 1 = 5040/12 = 420
Respuesta: se pueden formar 420 permutaciones diferentes

Ejemplo

Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra MONOMIO?


Aplicando el procedimiento:
Fórmula: n!/n1! n2! … nr!
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

TEMA: PROBABILIDADES

Estadística I
Ingeniería en Sistemas de Información

Universidad Mariano Gálvez de Guatemala

3 x 2 = 6 permutaciones.

Caja 1

b) Por cajas (procedimiento que permite visualizar posiciones necesarias para ubicar los factores involucrados en un determinado problema; y el número posible de ellos es cada posición)

Ejemplo ilustrativo
a) Se desea establecer el número de arreglos (número de formas en que pueden presentarse) de las letras a,b,c, tomadas de dos en dos, sin que alguna de ellas se repita en un mismo arreglo; esto será:
Por diagrama de Árbol:


Caja 2

Por espacio muestral (también conocido como espacio de muestreo) se entiende el grupo de todos los resultados específicos que se pueden obtener tras una experimentación de carácter aleatorio. A cada uno de sus componentes se los define como puntos muestrales o, simplemente, muestras.


Espacio Muestral

Los espacios muestrales pueden clasificarse como discretos (cuando la cantidad de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en los cuales la cantidad de sucesos básicos posee carácter infinito y, por lo tanto, resulta imposible de contar).

Si la prueba se basa en arrojar un dado, el espacio muestral estará constituido por los puntos muestrales identificados como los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ya que esos son los resultados posibles de la acción de tirar el dado. Por lo tanto, se puede establecer que el espacio muestral del experimento es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ejemplo:
Una caja contiene fichas blancas y rojas. se extraen
sucesivamente tres fichas.

a. Espacio muestral:
b. Evento A= (extraer tres fichas del mismo color)
c. Evento B= (extraer al menos una ficha blanca)
d. Evento C= (extraer una sola ficha roja)
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