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Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

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by

María Tavarez

on 2 December 2013

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Transcript of Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

4.5 y 4.6
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Definición: El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces.
Propiedades:
i.- (v, v) ≥ 0
ii. -(v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, -(u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. -(u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. -(u, v) = (v, u)
vi. -(αu, v) = α (u, v)
vii. -(u, αv) = α (u, v)
La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt.
Una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno ) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.
Proceso de ortonormalización Gram – Schmidt.
El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.
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