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Papiroflexia para aprender matemáticas

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by

Isabel Negueruela Sánchez

on 31 January 2016

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Transcript of Papiroflexia para aprender matemáticas

Si se corta un tetraedro de un decímetro de arista en cada uno de los vértices de un tetraedro de dos decímetros de arista, ¿Qué clase de sólido resulta?
Un tetraedro regular es cortado simultáneamente por seis planos. Cada uno divide al tetraedro por la mitad, pasando por una de las aristas y bisecando a la opuesta. ¿Cuántas piezas resultan?
Axiomas de Huzita - Atori
2. Dados dos puntos P y Q, se puede llevar P sobre Q
1. Dados dos puntos P y Q, se puede construir la línea que los una.
3. Dadas dos rectas r y s, se puede llevar r sobre s
4. Dados un punto P y una recta r, se puede construir una perpendicular a r que pase por P
5. Dados dos puntos P y Q y una recta r, se puede llevar el punto más
alejado sobre la recta r con un pliegue que pase por el otro punto.
6. Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue que lleve
P sobre r y Q sobre s.
7. Dado un punto P y dos rectas r y s, se puede hacer un pliegue que
lleve P sobre r y sea perpendicular a s. (Atori)
1. Dados dos puntos P y Q, se puede
construir la línea que los una.
2. Dados dos puntos P y Q,
se puede llevar P sobre Q
Axiomas de Huzita
Axiomas de Huzita
Axiomas de Huzita
3. Dadas dos rectas r y s,se puede llevar r sobre s
4. Dados un punto P y una recta r, se
puede construir una perpendicular
a r que pase por P
Axiomas de Huzita
El kirigami es el arte
del papel recortado
Kirigami
Dobla un cuadrado para conseguir alguna de las figuras siguientes dando un
único corte recto
En tres dimensiones
La Recta de Euler
http://www.geogebratube.org/student/m113323
http://www.geogebratube.org/student/m113325
http://www.geogebratube.org/student/m113324
Medidor de Ángulos
http://www.cientec.or.cr/matematica/origami/transportador.html#notas
https://www.flickr.com/photos/brill/sets/72157628045090080/with/6309369701/
Canción de la pajarita de Assia Brill
Con 8 cubos de arista 1 puedes formar otro cubo mayor de 2 unidades de arista, ¿cuantos cubos necesitas para formar un cubo de 3 unidades de arista?
Con tetraedros regulares idénticos, ¿podrías construir un tetraedro más grande, de arista doble de los primeros? ¿cuántos necesitarías?
TETRAEDROS
Con un rectángulo
El primer producto de Tetra Pak fue un tetraedro. Ruben Rausing estuvo trabajando en el diseño de sus cartones herméticos desde 1943 hasta 1950. Llegó a ser la persona más rica de Suecia.

¿Puede doblarse a lo largo de tres rectas cualquier triángulo recortado en papel de manera que forme un tetraedro, no necesariamente regular?
¿Qué condiciones debe cumplir el triángulo?

¿Se puede con triángulos?
http://www.ted.com/talks/robert_lang_folds_way_new_origami
Flexágonos
Un flexágono es un objeto plano con forma de polígono creado doblando papel.
Su principal característica reside en que, mediante su correcto plegado, permite mostrar más caras de las dos únicas que en un principio tiene un polígono.
Hexa-Tetraflexágono
Tri-Hexaflexágono
Módulo Sonobè
Papiroflexia Modular
Módulo Rizado
Aplicaciones de la papiroflexia
La papiroflexia tiene actualmente aplicaciones en Arquitectura, para fabricar airbag, stens para aplicaciones médicas, paneles solares espaciales desplegables, incluso en la moda.
Teoremas de Haga
Los teoremas de Haga dividen una medida en tres partes iguales, partiendo de una conocida (la mitad)
Otros módulos
Cubo-Flor
Magic Rose Cube
Flexágono cuadrado con 6 caras distintas
Flexágono con forma hexagonal y 3 caras distintas
Hexa-Hexaflexágono
http://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Papirola, 8 modulos
Tetraedro, 3 modulos
Cubo, 6 módulos
"Cada uno en su región y Voronoi en la de todos"
de Clara Grima
Octaedro Estrellado, 12 módulos
Icosaedro Estrellado, 30 módulos
Diagramas de Voronoi
Cubo Soma, 122 módulos
La tira de Papel
Construcción de ángulos
El Pentágono
Estrellas
Tetraedro
Plegando simplemente una tira de papel podemos construir ángulos de 90º, 60º, 45º,...
También podemos construir triángulos equiláteros y hexágonos regulares
A partir de los plegados anteriores podemos pasar a figuras con volumen, como el tetraedro.
Otras maneras de
montar poliedros
Haciendo un nudo con la tira de papel, podemos construir un pentágono.
Dando un paso más podemos construir estrellas con volumen
http://edsonvalentin.blogspot.com.es/2010_12_01_archive.html
Volvemos a la idea del Kirigami de doblar y cortar
Los tres triángulos rectángulos que aparecen son semejantes y las longitudes de sus lados están en la proporción 3, 4 y 5.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=7972:5-divisiel-lado-del-cuadrado-en-partes-iguales-teoremas-de-haga&catid=65:papiroflexia-y-matemcas&directory=67
Tangram
¿Cuántos triángulos de área distinta puedes hacer con las piezas del tangram?
Algunos de ellos se pueden
construir de distintas formas
Cuatro piezas
Divide un cuadrado en 4 triángulos iguales de la siguiente forma

ROMPECABEZAS DE PAPEL
¿Cuántos cuadriláteros distintos puedes construir con ellas?
Clasifícalos
INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES
Recta
Hipérbola
Parábola
Códigos de Akiro Yoshizawa
http://www.pajarita.biz/diagramas/diagramas.php
Bases y símbolos en la Asociación Española de Papiroflexia
La suma de los ángulos alternos en cualquier cúspide es 180º (T. del doblado de Kawasaki)
La diferencia entre el número de pliegues valle y montaña en un vértice es siempre 2 (Maekawa)
Es bicoloreable, tiene que poderse colorear con solo dos colores.
Sasaki´s puzzles
Tetraedro plegable

Sistema solar
http://www.langorigami.com/science/computational/treemaker/treemaker.php
Proceso de diseño de una figura, tutorial de Diego Quevedo:
http://www.pajarita.org/articulos/articulos
http://i-matematicas.com/blog/2009/05/08/corazones-entrelazados-con-la-cinta-de-moebius/
Fábrica de boinas
http://www.celebrationofmind.org/assets/martin-gardners-mobius-surprise.pdf
Aplicación para construir un trihexaflexágono con las imágenes que quieras: http://britton.disted.camosun.bc.ca/fotothf/fotothf.htm
“Doblar y cortar. Kirigami geométrico” Grupo Alquerque. Publicado en la revista Suma nº 59 y en DivulgaMAT
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&id=13154:noviembre-2011-doblar-y-cortar-kirigami-geometrico-publicado-en-la-revista-suma-no-59-2008&directory=67
http://www.britishorigami.info/fun/sasaki.php
Cinta de Moebius
Con la ayuda de geogebra, contesta a las preguntas
¿Todos los puntos notables están en el interior del triángulo?
¿Cuáles pueden estar sobre el triángulo?
¿En qué tipo de triángulos ocurre eso?
¿En qué triángulos coinciden algunos puntos? ¿cuáles?

Diagrama del módulo Sonobè
El formato de los folios que utilizamos DIN A4 está diseñado para que al partirlo a la mitad queden rectángulos semejantes, con lo que sus lados son proporcionales a los del otro.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AA_size_illustration.pdf
Recorta en un papel cuadriculado todos los rectángulos que puedas con 24 centímetros cuadrados y pégalos en el origen de unos ejes de coordenadas.
Si unes todos los vértices de los extremos dibujarás una hipérbola, ¿cuál será su ecuación?
La hipérbola es la representación
gráfica de las magnitudes

inversamente proporcionales
La recta es la representación
gráfica de las magnitudes
directamente proporcionales
Representa en unos ejes de coordenadas las velocidades y alturas que aparecen en el dibujo.
Al unir los puntos puntos con una línea obtienes una parábola.
Utilizando la gráfica para calcular los valores que están borrados.
Encuentra la fórmula que relaciona la altura con la velocidad, relacionando la energía potencial y la cinética. Tendrás que ponerlo todo en las mismas unidades

Instrucciones para construir el módulo
y un cubo
puedes construir muchas figuras con el módulo sonobè
Módulo Shuriken
http://en.origami-club.com/fun/shuriken/index.html
Con este módulo puedes hacer una estrella ninja que vuela
Isoperimetrías
Los antiguos egipcios eran muy buenos geómetras porque todos los años tenían que medir los campos, que habían quedado inundados por el Nilo. Utilizaban cuerdas, a cada uno le correspondía el campo rectangular que pudiera rodear con una cuerda. Para hacer el ángulo recto usaban el triángulo sagrado.

Si fueras un egipcio y te dieran una cuerda de 100 metros, ¿qué medidas elegirías para tu rectángulo? Haz una gráfica con la superficie del campo en función de la base del rectángulo.
Triángulo sagrado egipcio
¿Cómo quieres el campo?
Paso para elefantes
Cuando la reina Dido, fundadora de Cartago, llega a la costa de Africa, el rey Jarbas le concede “tanta tierra como pueda abarcar con una piel de buey”
Dido hace cortar tiras muy finas con la piel del buey y con ellas consigue acotar un extenso perímetro: forma una circunferencia de 1 kilómetro y medio, ¿cuántas hectáreas consiguió?

¿Puedes hacer un agujero en una hoja de periódico a través del cual pueda pasar andando un elefante?
Pista
Puzzle de Dudeney
Construye las piezas en un triángulo equilátero.
Marca los puntos medios en dos de los lados y las cuartas partes en el otro.
Dobla por PQ y luego por las perpendiculares a él desde R y S.
Con las mismas piezas podrás hacer un cuadrado
Locura instantánea
Con los cuatro cubos tienes que construir una torre en la que aparezcan los 4 colores en las cuatro caras.

Disección de Perigal
Construye las piezas para demostrar el teorema de Pitágoras
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=7981:14-papirodemostraciel-teorema-de-pitras&catid=65:papiroflexia-y-matemcas&directory=67
Espiral de Tomoko Fuse
https://plus.google.com/photos/114055364584411100634/albums/5184738349970471233?banner=pwa
Flexágono del congreso
Este flexágono está hecho con una aplicación que permite poner tres imágenes a tu gusto
Construcción
1. Dobla con el dibujo hacia fuera
2. Dobla la parte derecha hacia adelante
3. Dobla la parte izquierda
hacia atrás
4. Dobla la parte de abajo
hacia delante
5. Saca la pestaña de debajo
de la blanca y pégala
Con Geogebra
Parábola
Elipse e Hipérbola
Cónicas con
Envolventes

Recorta una circunferencia de centro A
Marca un punto en su interior B
Toma un punto C de la circunferencia
Dobla para hacer coincidir C con B
Repite unas 15 veces tomando otros puntos
Para la hipérbola el punto B tiene que ser exterior
Para la parábola, una recta en vez de la circunferencia
Dobla por CA para comprobar que la línea que hemos trazado, la tangente a la elipse, es la bisectriz exterior del ángulo ADB.
Obtienes una elipse, de focos A y B y eje mayor el radio de la circunferencia, envuelta por sus tangentes
Dobla una hoja de papel. Corta por AB, a la mitad y hasta la mitad por el lado del doblez e introduce el pliegue hacía dentro. Repite lo mismo en todos los dobleces. Iterando el proceso obtendrás el triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
http://i-matematicas.com/blog/2009/01/21/lampara-fractal-1
Lámpara fractal
http://topologia.wordpress.com/2008/12/21/dragon-de-heighway/
La curva del dragón
http://elblogdehipatia.blogspot.com.es/2011/07/kirigami.html
Fractales de papel
Escalera fractal
Pajarita fractal
Matemáticas en la papiroflexia
Programa Treemaker
Curlicue.
Origami cinético

La tira de papel
Irracionales y rectángulo áureo
Doblar y cortar
MUCHAS GRACIAS
por vuestra atención

Ahora
¡A practicar!

Espero que os resulte útil
Doblando el triángulo
Con Geogebra
En un triángulo de papel dobla las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas.
Los puntos en los que se cortan son los puntos notables del triángulo:
Circuncentro para las mediatrices
Incentro para las bisectrices
Baricentro las medianas
Ortocentro las alturas
Primer teorema de Haga
1.
2.
3.
4.
¿Cuánto miden los ángulos?
P
Q
R
S
Utiliza cuadrados de papel con caras distintas.
Tienes que reproducir el patrón color rosa, con tan pocos pliegues como sea posible. No hay reglas, puedes usar diagonales, quintos, tercios, cuartos, lo que tú quieras.
Son todas las combinaciones posibles de los nueve lugares disponibles, busca las 18 que faltan
En un cuadrado, marca el centro y un punto E en un lado. Dobla por el punto E y el centro y por la perpendicular a ella por el centro. Recorta las piezas.
http://blog.divermates.es/cubos-de-colores-ocho-rompecabezas-en-uno/
Mira aquí como construir los cubos:
Pon estos colores en los cubos
Estrellas
1
2
3
4
5
6
Corta
Pega el borde de una hoja de papel para hacer un cilindro
Dobla a la mitad uno de los bordes del cilindro y pégalo
Dobla el otro borde, de forma perpendicular al anterior y pega.
Construye tetraedros
Piezas que llenan todo el espacio
Cortando tetraedros
https://app.box.com/s/bnuvbdx4kajd1l4dukrh
Plantillas PopUp
Recorta
y pega
http://arigatomg.com/nihon-no-mono-no-wokushopu-estrellas-de-papel/
¿Por qué esos nombres?
Si lo has hecho bien, podrás poner el triángulo en equilibrio poniendo el baricentro en la punta del bolígrafo
¿Cuáles de los puntos notables del triángulo están alineados?
La recta que los une se llama Recta de EULER
Primer teorema de Haga
Segundo teorema de Haga
Tercer teorema de Haga
Corta una cuarta parte de un folio a la larga y haz todos los triángulos equiláteros que puedas.
Te quedarán ocho enteros y otro incompleto, como en la figura.
Marca bien los dobleces y enróllalo formando el tetraedro.
Cuando te queden tres triángulos y el incompleto, enrolla en sentido contrario e introduce el triángulo incompleto en el hueco que hay a su altura.
Tendrás un tetraedro bastante sólido
¿Qué tienes que doblar para obtener raíz de cinco?
Dobla, por la línea, la parte derecha hacía adelante
Dobla, por la línea, la parte izquierda hacía atrás
Dobla la parte de abajo hacía atrás
Pasa el último triángulo por encima y pega
¿Cuáles son las medidas del A0?
Accidentes monumentales. La Seguridad Vial en manos de todos. (1997)
Dirección General de tráfico. Ministerio del Interior
Con la hoja doblada, haz un número impar de cortes como en la figura y otro a lo largo del doblez desde A hasta B.
¿Cuál sería el perímetro si dieras los cortes a una distancia de 1 centímetro?
Dobla una tira larga de papel y desdobla. Ya tienes el primer paso. Marca el centro.
Itera, repite el proceso, con cuidado de doblar siempre en el mismo sentido.
Llamando D a doblar a la derecha e I a la izquierda, se puede codificar el proceso
D
I
D
D
I I D
D
I D D
D D I I D I I
D
I I D D I D D

¿Cuál será el código del siguiente paso?
"http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Harter-Heighways
_dragon_curve_%28IFS%29.jpg"
Dobla una hoja de papel. Corta por AB y CD, a un cuarto de los bordes y hasta la mitad. Introduce el pliegue hacía dentro. Repite el mismo proceso en AC.
Iterando varias veces obtendrás la escalera fractal.
Otros Fractales
http://i-matematicas.com/blog/2013/01/27/libro-de-fractales-y-kirigami/
Libro de fractales
y kirigami
http://andreamagandom.wordpress.com/page/2/
“Sea un cuadrado de vértices A, B, C, D.
Si se pliega el cuadrado sobre sí mismo, llevando el vértice A al punto medio del lado BC , entonces el lado AD cortará al lado CD en un punto G tal que la distancia entre C y G es igual a las dos terceras partes del lado del cuadrado”
A
B
C
https://www.facebook.com/Curlicueorigami
http://www.origami-instructions.com/origami-magic-rose-cube.html
Instrucciones
Con una pequeña variación en el montaje de los módulos podemos hacer un cubo que se convierte en flor
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=13498:40-puzzle-locura-instantanea-instant-insanity-de-papiroflexia&catid=65:papiroflexia-y-matemcas&directory=67
http://www.juegosparalistos.es/Juegos_flash/folds.html
Juegos para listos
En espiral es más bonito
Sigue los pasos anteriores y continúa igual hasta que se acabe la cinta y obtienes
Con una cinta estrecha y larga, por ejemplo de 1 x 50 cm
La espiral pitagórica
¿Cuánto miden los segmentos que aparecen?
Si despliegas la cinta y la enrollas alrededor de si misma, siguiendo los pliegues anteriores, tendrás
Un Nautilus
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