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Derivadas

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by

Ivelisse González

on 1 December 2012

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Transcript of Derivadas

Definición de la derivada de una función: La derivada de f con respecto a x viene dada por
f'(x) = lim (f(x +∆x)- f(x))/∆x

supuesto que ese límite existe. En el conjunto de los x donde existe el límite, f' es una función de x. Derivada: La regla de la constante: Dice que la derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces d/dx [c]=0 . Ejemplos:
Función Derivada
1) y = 7 dy/dx = 0
2) f(x) = 0 f'(x) = 0
3) s(t) = - 3 s'(t) = 0
4) y = kπ^2, k es constante y' = 0 La regla de las potencias: Dice si n es un número racional, la función f(x) = x^n es derivable y
d/dx [x^n] = nx ^n-1.
Para que f sea derivable en x = 0, n ha de ser un número tal que x ^n-1 esté definido en un intervalo que contenga a 0. Las reglas de suma y diferencia Ejemplos: La regla del producto Ejemplo:
h(x)=(3x- 2x^2 )(5+4x)

h^' (x)=(3x- 2x^2 )(4)+ (5+4x)(3-4x)
=(12x- 8x^2 )+ (15-8x- 16x^2 )
= -24x^2+4x+15 ∆x-> 0 Un ojo al pasado:
El Cálculo se desarrolló a partir de cuatro problemas sobre los que los matemáticos europeos estaban trabajando en el siglo XVII.
1. El problema de la recta tangente.
2. El problema de la velocidad y la aceleración.
3. El problema de los máximos y mínimos.
4. El problema del área. Ejemplos:
Función Derivada
1) f(x) = x^3 f'(x) = 3x^2
2) g(x) = 1/x^2 g'(x) = x^-2=-2x^-3=-2/x^3 La regla del cociente La regla de la cadena Derivadas de las funciones seno y coseno Derivadas de funciones trigonométricas Ejemplo:
h(x)= (5x-2)/(x^2+1)
h^' (x)= ((x^2+1)(5)- (5x-2)(2x))/(x^2+1)^2
= ((5x^2+5)-(10x^2-4x))/(x^2+1)^2
=(-5x^2+4x+5)/(x^2+1)^2 Derivación Implícita Ejemplo:
f(x)= (x^2+1)^3

f^' (x)= 3(x^2+1)^2 (2x)
=6x(x^2+1)^2 f(x)=sinx f(x)= cosx
f^' (x)= cosx f^' (x)=-sinx f(x)=tanx f(x)= cotx f(x)= secx f(x)=cscx
f^' (x)= sec^2 x f^' (x)= -csc^2 x f^' (x)=secx tanx f^' (x)= -cscx cotx Ejemplos:
f(x)= x- tanx f(x)= x secx
f^' (x)= 1- sec^2 x f^' (x)= x(secx tanx)(secx)(1)
=(secx )(1+x tanx) Ejemplos:
f(x)=2 sinx f(x)= x+cosx
f^' (x)= 2 cosx f^' (x)=1- sinx Estrategia para la derivación implícita:
1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x.
2. Agrupar todos los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y pasar los demás a la derecha.
3. Sacar factor común dy/dx en la izquierda de la ecuación.
4. Despejar dy/dx, dividiendo la ecuación por el factor que le acompaña. Ejemplo:
Hallar dy/dx sabiendo que y^3+y^2-5y-x^2=-4
1. d/dx [y^3+y^2-5y-x^2 ]=d/dx[-4]
d/dx [y^3 ]+d/dx [y^2 ]-d/dx [5y]- d/dx [x^2 ]=d/dx[-4]
3y^2 dy/dx+2y dy/dx-5 dy/dx-2x=0
2. 3y^2 dy/dx+2y dy/dx-5 dy/dx=2x
3.dy/dx(3y^2+2y-5)=2x
4. dy/dx=2x/((3y^2+2y-5))
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