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Proyecto Métodos Numéricos, Análisis diferencial de un model

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leonardo villamil

on 24 June 2014

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Transcript of Proyecto Métodos Numéricos, Análisis diferencial de un model

1. Introducción
2. Modelo
3. Metodos Numerico
4.Desarrollo del modelo
5. Análisis
6. Conclusiones
7. Codigos

Introducción
El objetivo de este trabajo es el estudio del comportamiento dinámico del nivel de materia prima en una cadena de producción y abastecimiento al igual que las variables relacionadas, a través de un modelo matemático conformado por ecuaciones diferenciales que relacionan los niveles de inventarios y los flujos entre ellos. Todo esto, realizando un análisis numérico y llegando la solución del sistema por medio del uso del software MATLAB.
Modelo
METODOS NUMERICOS
Analisis
Se puede notar que al realizar la resolución del problema con métodos numéricos se logra la representación matemática de nuestro modelo de producción, de tal manera que podemos conocer y aproximar el comportamiento de cada nivel con respecto al tiempo.
Proyecto Métodos Numéricos, Análisis diferencial de un modelo de producción
Laura Cruz Aldana, Leonardo Villamil

Contenido
Estudio de una cadena de abastecimiento cerrada en la cual la fábrica produce un único ítem o producto, que es vendido a un distribuidor, el cual recibe los pedidos de los clientes y luego entrega el producto.
HISTORIA
Jay W. Forrester (1981-1994) y sus colaboradores en el MIT en la década del 60 definen La dinámica industrial como una técnica de análisis del comportamiento en el tiempo de sistemas organizacionales
Variables del modelo
Cursograma
Para la representación gráfica de este sistema se hará uso de un cursograma, en el cual se utilizan símbolos y reglas convencionales para ayudar a clasificar el modelo
ECUACIONES
Constantes
Cp: capacidad de producción
K1: constante de pedidos
k2: constante de pedidos
IDD: el nivel de inventarios deseado por el distribuidor.
IDF es el nivel deseado de inventario en fábrica.
Tasas
R0(t): tasa a la cual se generan las órdenes de fabricación
Rp(t): tasa de producción
R1(t): tasa de entrega de fábrica al distribuidor
R2(t):tasa de entrega distribuidos a cliente
R3(t):tasa distribuidor pide a fabrica
R4(t):tasa de pedidos aceptados de los clientes por la empresa


Tiempos
d0: tiempo de producción
d1: demora o tiempo promedio de entrega de fábrica a distribuidor
d2: tiempo de entrega distribuidor a clientes


“simulación de una cadena de abastecimiento”
(Ma. De lujan betria, Luis P. Lara, Universidad Nacional de Rosario, Argentina)
El siguiente trabajo se desarrolla, basándonos en los estudios realizados sobre la dinámica industrial, así como el planteamiento, estudio y desarrollo de un modelo previamente establecido en el trabajo:
Métodos usados:
Método de runge-kutta 4 para ecuaciones diferenciales
Método de runge-kutta 4 para y sistemas de ecuaciones diferenciales
Métodos de ajuste de curvas por combinación de mínimos cuadrados (polinomios de interpolación)
Gauss por pivoteo parcial
Niveles
Lrm(t):nivel de materia prima
Ldi(t): nivel de inventario del distribuidor
Li(t): nivel de inventario en fabrica
L1(t):nivel de órdenes de fabricación pendientes
L2(t):nivel de pedidos pendientes de fábrica a distribuidor
L3(t):pedidos pendientes de los clientes

El modelo plantea las siguientes ecuaciones a solucionar, correspondientes a la simulación del problema:
Desarrollo del modelo
Parámetros
tiempo de producción (d0)= 2 días
tiempo de entrega fabrica distribuidor (d1)= 3 días
tiempo de entrega distribuidor a cliente (d2)= 5 días
demanda (d(t))=2.5
Se considera la capacidad de producción suficientemente grande
las constantes k1 y k2 se fijaron en 0,5
Los inventarios deseados en fábrica y en el distribuidor se fijaron en 0,5 y 1 respectivamente
Primer grupo de ecuaciones
Solución del tercer grupo de ecuaciones
Finalmente se desarrolla el ultimo grupo de ecuaciones, de igual manera que para los dos casos anteriores, resolviendo el siguiente sistema:
Solución del segundo grupo de ecuaciones
Se realiza un procedimiento similar al desarrollado para el primer grupo de ecuaciones, con la diferencia de que en este caso solo es aplicable a una única ecuación. Siendo el problema a resolver:
Condiciones iniciales
El nivel de materias primas se inicializó en 150.
Los niveles de inventarios en fábrica y en el distribuidor se inicializaron en sus niveles deseados
Las órdenes de fabricación pendientes en 3
los pedidos pendientes del distribuidor en 4,5
los pedidos pendientes del cliente en 7,5.
Al analizar la gráfica se decidió realizar una aproximación a una ecuación polinómica de tercer orden teniendo en cuenta la distribución y forma de los puntos obtenidos, así como el propósito del presente estudio
Finalmente Se presentan La representación grafica de la aproximación, frente a la gráfica estimada por MATLAB, así como las ecuaciones caracteristicas de cada uno de los modelos.
Aprovechando que el modelo a estudiar puede ser dividido en varias partes, se toma el primer grupo de ecuaciones diferenciales con el fin de desarrollar el método de RK4 para dar una solución aproximada al modelo y obteniendo asi, la evaluación de la función buscada en un intervalo de puntos.
Para esto se hizo uso de un ajuste de curvas por combinación lineal en mínimos cuadrados, lo cual nos arroja el siguiente sistema de ecuaciones . ( ej. Ldi(t) )
El cual puede ser solucionado utilizando métodos numéricos como en nuestro caso Gauss con pivoteo parcial.
Para este caso el ajuste de curva realizado para L1(t) fue un polinomio cuadrático, utilizando de igual modo combinación lineal en mínimos cuadrados, esto debido a que por lo estableció en la dinámica industrial una aproximación de grado 3 no tendría sentido en el correspondiente análisis de producción.
Finalmente se toma la integral de la ecuación característica para el nivel de órdenes de fabricación pendientes y por medio de las ecuaciones correspondientes, sabiendo que el valor inicial de materia prima es 150 obtenemos:
Con la información anterior vemos que para encontrar el nivel de materia prima Lrm(t) fue necesario el uso de todas las variables, tasas y niveles de sistema
notamos que en el intervalo estudiado esta se comporta de manera decreciente, lo cual tiene coherencia ya que en una cadena de producción al no tener reabastecimiento de materia prima esta disminuirá con el paso del tiempo, desde un valor inicial y dependiendo del gasto de la misma
Como es de esperarse el nivel de materia prima llegara a su punto crítico en el tiempo, cuando esta se manufactura completamente, siendo en la ecuación el punto de corte con el eje horizontal, el tiempo a tener en cuenta, que en nuestro caso corresponde aproximadamente a los 48 días.
Por último, se pudo notar al realizar el análisis de las gráficas obtenidas, que en ciertas regiones de las mismas, el fenómeno de producción a simular no tiene coherencia, como por ejemplo cuando se habla de niveles de inventario negativos. Este problema puede ser solucionado aplicando una serie de restricciones en el modelo
BIBLIOGRAFIA
1. “simulación de una cadena de abastecimiento”,Ma. De lujan betria, Luis P. Lara, Universidad Nacional de rosario, Argentina
2. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta.
3. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/eDiferenciales/rungeKutta/rungeKutta.htm
4. http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo3/3.6.htm
5. http://matematicas.univalle.edu.co/~dohin/calculo-
III/PROYECTO3.pdf
6. https://sites.google.com/site/pn20111/
Se resalta la importancia del uso de métodos numéricos aplicados para solucionar problemas de ingeniería ya que facilita el desarrollo de forma computacional y analítica, dando aproximaciones estimadas con bajo índice de error y permitiendo el estudio sistemático de los problemas.
Este tipo de estudios en el análisis de manufactura y producción permite al empresario la estimación de datos al futuro, lo cual en la dinámica industrial es de suma importancia debido a que asegura una mejor toma de decisiones con respecto a la productividad, materia prima, demanda y demás variables, lo cual se resume en una mayor eficiencia, eficacia, minimizando costos y maximizando las ganancias.
Concluciones
CODIGOS
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