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Lineare Optimierung

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by

Mika Lohmann

on 29 June 2017

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Lineare Optimierung
Problemstellung
1) Es können im Monat maximal 100 Gehäuse für Fernsehgeräte oder CD-Player oder eine Kombination aus beiden hergestellt werden.

2) Monatlich stehen 240 Stunden Arbeitszeit zur Verfügung, wobei die Produktion eines Fernsehgerätes 3 Stunden und die eines CD-Players 2 Stunden dauert.

3) Der Gewinn bei der Produktion eines Fernsehgerätes beträgt 120 Euro und bei einem CD-Player 90 Euro.

Wie viele Fernsehgeräte und CD-Player muss die Firma monatlich herstellen, damit der Gewinn maximal wird?
Lösung im Zweidimensionalen
Sonderfall 2
Sonderfall 1
Wir ändern 1): Aus produktionstechnischen Gründen müssen mindestens 100 Gehäuse pro Monat produziert werden.

Wir ändern 2): Die Produktionsdauer beträgt für ein Fernsehgerät nun 8 Stunden und für einen CD-Player 4 Stunden.

Sonderfall 4
Wir ändern 2): Die Produktionsdauer für Fernsehgeräte beträgt nun 7 Stunden, die für CD-Player 4 Stunden und die für Gesamtarbeitszeit beträgt nun 480 Stunden.
Sonderfall 3
Wir ändern 3): Der Gewinn bei der Produktion eines CD-Players beträgt nun nur noch 40 Euro.
- Beim Einzeichnen entsteht eine durch die einschränkenden Bedingungen begrentzter Polyeder.


- Durch Ablesen: (X1/X2) = (40/60)


- Werden pro Monat also 40 Fernsehgeräte und 60 CD-Player hergestellt wird ein maximaler Gewinn von 10200 Euro erzielt.
Zu sehen ist keine Lösung, da die Schnittmenge der durch die einschränkenden Bedingungen definierte Halbebene leer ist.
Wir ändern 1): Aus produktionstechnischen Gründen darf die Differenz zwischen der Anzahl der Gehäuse für Fernsehgeräte und der Anzahl der Gehäuse für CD-Player nicht mehr als 50 betragen.

Wir ändern 2): Aus prouktionstechnischen Gründen muss die Differenz zwischen der Arbeitszeit für Fernsehgeräte und der Arbeitszeit für CD-Player mindestens 80 betragen, ohne Begrenzung der zur Verfügung sehenden Arbeitszeit.
Es entsteht keine Lösung, da die Schnittmenge der durch die einschränkenden Bedingungen definierte Halbebene unbegrenzt ist.
Als Lösungen zählen hier alle Punkte mit ganzzahligen Koordinaten der rot markierten Strecke. Allerdings nur im Intervall von 0 bis 1.
Die Lösung lässt sich anhand der Grafik, durch Ablesen, nicht eindeutig bestimmen. Daher muss der Schnittpunkt der einschränkenden Bedingungen durch eine Rechnung bestimmt werden.
Problemstellung im Dreimensionalen
Erweiterung auf drei Variablen:

Die Firma stellt nun Fernsehgeräte, CD-Player und Radiorecorder her.

Der CD-Player benötigt nun ein Doppelgehäuse, wobei die maximale monatliche Gehäuseanzahl bei 100 liegt.

Die monatlich zu produzierende Anzahl an Fernsehgeräten und CD-Playern darf 40 nicht überschreiten, die Anzahl von CD-Playern und Radiorecordern darf 50 nicht überschreiten.

Der Gewinn für ein Fernsehgerät liegt nun bei 10 Euro, der eines CD-Players bei 20 Euro und der eines Radiorecorders bei 30 Euro.
Lösung im Dreidimensionalen
Der Berührpunkt der Zielfunktionsebenenschar mit dem Polyeder, liegt für den maximalen Gewinn bei (X1/X2/X3) = (40/0/50).
Eine Firma produziert Ferehgeräte und CD-Player.
Die Lösung der Rechnung ist eine ganzzahlige Lösung, daher ist dieser Fall ein Sonderfall.
Fragen?
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