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Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuen

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mila avaltm

on 28 June 2015

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Transcript of Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuen

Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones de
compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y otros métodos
, y la resolución de ecuaciones e
n derivadas parciales (relacionar una función matemática con diversas variables
independientes y las derivadas parciales de la misma respecto de dichas variables). Por otr
o lado, sirven para el tratamiento de objetos físicos y geométricos, como ser los tensores.


Base
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.


Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.


Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente


BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL






*Los vectores serán linealmente dependientes (formarán un conjunto "ligado") significa que entre ellos hay información repetida: entre dichos vectores hay al menos que puede obtenerse combinando linealmente los restantes.
*Los vectores serán linealmente independientes (formarán un conjunto "libre") significa que entre ellos no hay información repetida: ninguno de dichos vectores puede obtenerse combinando linealmente los restantes.




Se dirá que son linealmente independientes (ó que el conjunto que forman dichos vectores es linealmente independiente) en caso contrario; es decir que para que una combinación lineal de ellos resulte el vector nulo, necesariamente debe ser con todos los escalares iguales a cero. Esto es Ʃviλi=0…., λ1=λ2=…0



Los vectores , se dice que son vectores linealmente dependientes (ó que el conjunto que forman dichos vectores es linealmente dependiente) si existen unos escalares , no todos nulos, tales que λ1,λ2,λ3…λn € R, no todos nulos, tal que Ʃviλi=0

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn
donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como
i = (1,0,0);
j = (0,1,0);
k =(0,0,1)
V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)
Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.


Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.




COMBINACION LINEAL

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.



PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL



Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.


Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir
. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen


Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.


SUB ESPACIO VECTORIAL





10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

.





AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL






Un espacio vectorial (o espacio lineal), es el objeto básico de
estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores.

Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición
(una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

ESPACIOS VECTORIALES

un espacio vectorial o espacio lineal, es el objeto basico de estudio de Algebra Lineal. A los elementos de este se llaman

vectores

Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.







1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.



4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.





Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
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