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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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on 29 May 2016

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
LIMITES Y CONTINUIDAD
DERIVADAS PARCIALES
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES
PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES
EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
DERIVADAS GRADIENTES
RECTAS NORMALES
Ejemplo
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo
y = x2 , a la cual se le asigna arbitrariamente cualquier valor inicial como x = 3 , de donde corresponde que y = 9 .


INCREMENTOS
Se quiere saber qué relación existe entre el cambio de la variable independiente x y la variable de- pendiente y , es decir, cuando el valor de x cambia, ¿cómo varía por su parte y ?
¿Lo que cambia x es lo mismo que lo cambia y?
¿Cada vez que la variable x cambia en 1, la variable y cambia 7?
Al cambio que sufre la variable independiente x se le llama incremento de x, escrito Δx , mientras que el respectivo cambio que sufre la variable dependiente y se le llama incremento de y , escrito Δy .


la relación
entre el cambio de x con el cambio de y .

Haciendo una generalización del procedimiento para obtener la relación que existe entre los incrementos Δx y Δy
para cualquier función y = f ( x ) , se tiene que:
y = f ( x) (1)
y + Δy = f ( x + Δx ) (2)
Δy = f ( x + Δx ) − y (3)

Δy = f ( x + Δx ) − f ( x) (4)


Al inicio: y = x2 (1)
Al final: y + Δy = ( x + Δx )2 (2)

Visto con números:
9 = 32
9 + 7 = ( 3 + 1)2







despejando y de (2):
Δy = ( x + Δx )2 − y (3)
Sustituyendo el valor de y de (1) en (3):
Δy = ( x + Δx )2 − x2 (4)

DIFERENCIAL
para una función de dos variables,
z= f(x,y)
Es decir,
Δx

y

Δy
son los incrementos en
x
y en
y,
y el incremento en z está dado por
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION ES IGUAL A
EL PRODUCTO DE SU DERIVADA POR LA
DIFERENCIAL DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE:

dy = f ' (x) dx
DIFERENCIABILIDAD
APROXIMACION MEDIANTE DIFERENCIALES
ANALISIS DE ERROR
Halle los extremos de f(x,y) = 3x - 2y cuando x2 + 2y2 = 1

la funcion g se define de : g(x,y)=x2+2y2-1

derivada parcial
fx = 3 gx = 2x
fy = -2 gy = 4y

ecuaciones: despejando
3 = 2x (1) = 3/2x
-2 = 4y (2) = -2/4y

x2+2y2-1=0
igualamos las dos ecuaciones

3/2x = -2/4y = 12y = -4x

despejando x

x = 12y/-4
x = -3y

reemplazamos en la tercera ecuacion:
x2 + 2y2 - 1 = 0
(-3y)2 + 2y2 - 1 = 0
9y2 + 2y2 - 1 = 0
//11y2 = 1
y2 = 1/11
Y = +/- y = +/- 0,3
en caso de que la "y" sea positiva

x = -3(0,3)
x = -0,9

en caso de que la y sea negativa

x = -3(-0,3)
x = 0,9

ahora ya tenemos los dos valores para "x" y para "y".
reemplazamos los puntos obtenidos en la funcion "f".

f(x,y) = 3x - 2y
f(-0.9,0.3)= 3(-0,9)-2(0,3)
= -2,7 - 0,6
= -3,3

f(x,y) = 3x - 2y
f(0.9,-0.3)= 3(0,9)-2(-0,3)
= 2,7 + 0,6
= 3,3

estos son los valores extremos para la funcion "f(x,y)= 3x - 2y" con la restriccion x2 + 2y2 = 1
MULTIPLICADORES
DE LAGRANGE
sirven para evaluar los extremos de una funcion "F" que este sujeta a una restricción "g" de dos variable igualadas a cero (0).

se debe resolver el sistema de ecuaciones siguiente:


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