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Gráficas de las funciones trigonométricas.

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Isabella Grajales.

on 10 April 2015

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Transcript of Gráficas de las funciones trigonométricas.

Temas.
1. Líneas trigonométricas.
2. Gráficas de las funciones trigonométricas.
3. Análisis de gráficas.
Líneas trigonométricas.
Son segmentos de recta de un ángulo en posición normal que tienen medidas, las cuales hacen referencia a las funciones trigonométricas de dicho ángulo. Es dado en circunferencia unitaria.
3. Análisis de gráficas.
Se da cuando la variable independiente de la función se suma o multiplica por algún número real. Se dan 4 tipos de modificaciones en las gráficas, las cuales son:
traslaciones, reflexiones, comprensiones
y
alargamientos.
3.1. Comprensión y alargamiento.
La traslación se da cuando una variable independiente es positiva o negativa. La traslación se puede ver vertical o horizontalmente, y sabemos cómo se desarrolla cada una porque su variable es positiva o negativa respectivamente. Siendo 'a' el número a multiplicar.
Si 0 < a < 1, la comprensión será vertical, con función y=af(x).
Si a > 1, la comprensión será horizontal, con función y=f(ax).

2. Gráficas de las funciones trigonométricas.
-Se grafica la circunferencia unitaria en radianes en posición normal.
-Se traza la línea con respecto a la función trigonométrica que se va a realizar.
-Se ubican los puntos donde corresponden, los cuales, por último, van a ser unidos.

Tip: Los puntos no se deben unir de forma recta, sino tratando de que sea curveado.
Gráficas de las funciones trigonométricas.
Ejemplo.
Dado lo anterior, sabemos que r=1=OP.
Sen(α)=PQ.
Cos(α)=OQ.
Tan(α)=ST.
Cot(α)=TS’.
Csc(α)=OS.
Cot(α)=OS’.
2.1. Gráfica de la función seno (y = sen x)
Esta función está definida por los números reales, y su valor mínimo y máximo es de 1 y -1. Es una función impar, así que siempre será simétrica con respecto al origen de las coordenadas.
Tiene un período de 2π (p=2π).

2.2. Gráfica de la función coseno (y = cos x)
Es una gráfica semejante a la de seno, pues su dominio incluye sólo a los números reales entre 1 y -1. Esta es simétrica con respecto al eje y, y esto la hace una función par.
Tiene un período de 2π (p= 2π).
2.3. Gráfica de función tangente (y = tan x)
Esta función tiene como dominio los números reales excepto los múltiplos impares de π/2. Es una función impar, los cual indica es que es simétrica con respecto a su origen. Es periódica, la cual contiene asíntotas verticales, las cuales son crecientes para los valores comprendidos de x entre cada par de asíntotas verticales consecutivas.
Tiene un período de π (p=π).
2.4. Gráfica de función cotangente (y = cot x)
Su dominio son todos los números reales, exceptuando los múltiplos de π, y su rango son todos los números reales. Es una función impar y periódica, es decir, es simétrica a su origen y continua, respectivamente.
Es similar a la gráfica de la función tangente, pues tiene, al igual que la anteriormente mencionada, asíntotas verticales, y es decreciente para los valores de x comprendidos entre cada par de asíntotas verticales consecutivas.
2.5. Gráfica de la función secante (y = sec x)
Su dominio contiene a los números reales excepto los múltiplos impares de π/2. Es una función par y periódica, es decir, es simétrica al eje y.
Contiene asíntotas verticales, y nunca corta al eje x.
2.6. Gráfica de la función cosecante (y = csc x)
Es similar al proceso de la gráfica de la función secante.Su dominio incluye a los números reales excepto los múltiplos de π.
Es una función impar, es decir, es simétrica con respecto a su origen. Su período es de 2π (p=2π).
Tiene asíntotas verticales y nunca corta al eje x.
En esta gráfica se ve que sus puntos mínimo y máximo son -1 y 1 respectivamente. Se interseca en su punto de origen, esto quiere decir que es simétrico con su origen.
Esta función se interseca con su punto máximo en el eje y.
Esta función se interseca en su punto de origen y en el eje x con su valor respectivo, los cuales, en este caso, serían π y 2π.
-Diferencia entre gráficas de seno y coseno.
-Diferencia entre gráficas de tangente y cotangente
Aquí se evidencia que ninguna de las asíntotas corta al eje x, pero si pasan por algún punto en el eje y.
-Diferencia entre gráficas de secante y cosecante.
Todas las funciones:
3.3. Reflexión de funciones.
Se puede realizar reflexiones en el eje x y en el eje y. Para hacer una reflexión de alguna función en el eje x, se debe tener dicha función y darle una función inversa, es decir, toda función de forma negativa. Para hacer la reflexión de la función en el eje y se necesita que la función sea positiva, pero sus variables sean negativas.

EJEMPLO:
y= cos(-12x) Reflexión en eje y.
y=cos(12x)

y= -sen(5x) Reflexión en eje x.
y=sen(5x)

3.2. Traslación.
La traslación se da cuando una variable independiente es positiva o negativa. La traslación se puede ver vertical o horizontalmente, y sabemos cómo se desarrolla cada una porque su variable es positiva o negativa respectivamente.
3.5. Período.
Sean A y B números que pertenecen al conjunto de los números reales, el período de las funciones y= A sen Bx y y= A cos Bx es T= 2π/B, donde B > 0.
3.6. Desfase.
Contienen curvas sinusoidales, las cuales están dadas por las funciones: y= A sen (Bx - C) y y= A cos (Bx - C), hallando su respectiva amplitud y período. El desfase horizontal se da con la fracción C/B de las funciones seno y coseno.
3.4. Amplitud.
Es una función periódica, que tiene un mayor máximo y mínimo (M y m, respectivamente).
La amplitud de una función se da así: |A| = | 1/2 (M-m)|, pues esta es el valor absoluto de la mitad de la diferencia entre M y m.
Comprensión vertical y horizontal.
Alargamiento vertical y horizontal.
Aquí vemos que la función y=2 sen x + 3. La variable independiente es el 3, y es una traslación vertical. En el eje y se puede ver que los puntos que se movieron verticalmente son 3, como indica la función.
Vertical.
Horizontal.
y= 3cosx.
Vemos que esta es una reflexión con respecto al eje y.
La amplitud se marca como se muestra en esta imagen.
Esta amplitud sería |A| = | 1/2 (1-(-1))|= 1.
Esta gráfica nos muestra el desfase de las funciones seno y coseno. La curva de color rojo representa la función seno, y la morada representa la función coseno. Tienen un período de 2π y su amplitud es de 1.
Estos dos tipos de gráficos muestran como el período puede variar, pues se puede volver más corto o más largo, según indique la función a resolver.
Hecho por:
Isabella Grajales Cardona.
10ºB.
Colegio Jesús María.
Medellín.
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