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Komplexe Zahlen

Mathe-GFS
by

Gamze Uysal

on 6 May 2015

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Transcript of Komplexe Zahlen

KOMPLEXE ZAHLEN
Mathe-GFS
Gamze Uysal, J2.2
05. Mai 2015
gLIEDERUNG
Zahlenbereiche
wie sind komplexe zahlen "entstanden"
Imaginäre Einheit
komplexe konjugation
Addition
grundrechenarten
grundlegende regeln der grundrechenarten
Darstellung
Komplexer
Zahlen
Notation
Kartesische darstellung
Graphische Rechnung
polardarstellung
Polardarstellung
1. Einführung
1.1 Zahlenbereiche
1.2 Wie sind komplexe Zahlen "entstanden"?
1.3 Notation

2. Grundrechenarten
2.1 Addition
2.2 Multiplikation

3. Die grundlegenden Regeln der Grundrechenarten

4. Darstellung komplexer Zahlen
4.1 Kartesische Darstellung - Gauß'sche Zahlenebene
4.2 Polardarstellung
4.3 Graphische Rechnung

5. Komplexe Zahlen mit einem grafikfähigen TR verarbeiten

0
1
2
3
4
...
Natürliche Zahlen
-1
-5
-3
6
Ganze Zahlen
1
3
1,5
2,3
Rationale Zahlen
e
2
π
Reelle Zahlen
x + 1 = 0
2
-1
x = -1
Wenn Wurzel...
...dann 2 Lösungen!
irg-
end-
was
irg-
end-
was
x = -1
x =
-
-1
1
2
keine reelle Lösung!
i := -1
Leonhard Euler
= i
=
-
i
x
+ k
= 0
2
x = -
k
x = -
k
x = -1 *
k
= -1
k
=
i
*
k
1
1
2
x =
-
-
k
=
-
i
*
k
2
z = a + b *
i
komplexe Zahl
"reell"
Realteil
Imaginärteil
R
Teilmenge von
C
"imaginär"
in C keine Ordnungsrelation:
< : "kleiner als"
> : "größer als"
&
keine positive oder negative Zahlen
z = a + bi
z = c + di
1
2
z
+
z
1
2
(a + bi)
+
(c + di)
(
a
+
c
) +
i
(
b
+
d
)
Realteil
Imaginärteil
Multiplikation
z = a + bi
z = c + di
1
2
=
(a + bi)
*
(c + di)
= (
a
*
c
) + (
a
*
di
) + (
bi
*
c
) + (
bi
*
di
)
i = -1
i = -1
i = -1
2
2
2
2
Achtung
= (
a
*
c
) + (
a
*
di
) + (
bi
*
c
)
-
(
bi
*
di
)
=
a
c
+
a
di
+
c
bi
+
b
d
i
2
= (ac - bd) + i * (ad + bc)
1. Punkt vor Strich
2. Immer Klammer zuerst ausrechnen
Kommutativgesetz
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
z + z = z + z
1
1
z - z ≠ z - z
z * z = z * z
z : z ≠ z : z
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
Assoziativgesetz
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
(z1+ z2) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
(z1 - z2) - z3 ≠ z1 - (z2 - z3)
(z1 * z2) * z3 = z1 *(z2 * z3)
(z1 : z2) : z3 ≠ z1 : (z2 : z3)
Distributivgesetz
z1 * z2 ± z1 * z3
=
z1 * (z2 ± z3)
y
x
Gauß'sche Zahlenebene
Im (z)
Re (z)
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
z =
2
+
3i
P
P
(
2
|
3
)
z
z
= ( )
2
3
komplexer Zeiger
Why can't we
be together?
It's complex.
z =
a
+
b
* i
z =
a

-

b
* i
konjugiert
konjugiert
z = komplex konjugiertes zu z
Im (z)
Re (z)
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
P
z
z = 2
-
3i
Im (z)
Re (z)
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
Länge = Betrag
z = a + bi
z = a + b
2
2
z = z * z
Im (z)
Re (z)
φ
b
a
b
a =
z
* cos
φ
z
b
=
z
* sin
φ
z = a + b*
i
z =
z
* cos
φ
+
i
*
z
*
sin
φ
z =
z
* (cos
φ
+
i
*
sin
φ
)
Polarform
-π <
φ
<= π
Arg (z)
Addition
Im (z)
Re (z)
1 2 3 4 5 6 7
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
P (z )
P (z )
1
2
z = 2 + 3i
z = 5 + 2i
1
2
5
z = 7 + 5i
7
5
Full transcript