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Lagrange

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by

Alex Hernandez

on 3 May 2010

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Transcript of Lagrange

Polinomio de Lagrange Isra Alejandro Hernández Cordero
Israel Díaz de la Vega Índice Introducción
Definición
Propiedades
Error
Ejemplo
Conclusiones Introducción Llamado asi en honor de Joseph-Louis de Lagrange

Fue descubierto por Edward Waring en 1779

Redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange Definición Conclusiones Alto grado del polinomio, necesidad de optimizar

Overfitting: produce que la aproximación entre dos puntos continuos sea muy distinta a la que uno esperaría.

El polinomio interpolador de Lagrange es muy simple de implemetar y tiene interés teórico más que práctico por su sencillez

Sensible a errores de los datos

El polimio interpolador de Lagrange tiene la forma Propiedades Error El teorema que nos indica el error cometido dice lo siguiente:

Si f es de clase n+1 en [a,b], es decir, las derivadas orden n+1 son continuas



Entonces:



Para Obtener la cota de Error , maximizamos.


1) 2) Llamamos interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
El objetivo de la interpolación de Lagrange consiste en obtener una aproximación de una función f.
La base de la interpolación es un conjunto discreto de puntos
[a,b] --->
Una vez tenemos el soporte discreto también obtenemos fi

Una vez tenemos el conjunto de n +1 puntos Ejemplo La tabla a continuación muestra los minutos que sobreviven unos ratones en relación con su peso (gr), tras administrarles 1 ml de veneno de cobra. ¿Cuántos minutos sobrevivirá un ratón de 260 gr?¿y uno de 288? Pn(260)= 7.256964137 Pn(280)= 9.140762365 Consideramos el soporte el peso de los ratones, es decir, la variable independiente. La función son los minutos que sobreviven. >for i from 0 to 3 do
L[i]:=product((x-x[j])/(x[i]-x[j]),j=0..i-1)*product((x-x[k])/(x[i]-x[k]),k=i+1..3)
od; > lagr:=sum(f(x[p])*L[p],p=0..3); Ejemplo Aproximar la función 5*sen(3*x) > interpolar:=proc(f,n,a,b)
>
> local x,i,L,amax,bmax,Pn,der,prod,ii,ER,cota;
>
>
> for i from 0 to n-1 do
> x[i]:=(b/(n-1)*i);
> od;
>
>
> for i from 0 to n-1 do
> L[i]:=product((x-x[j])/(x[i]-x[j]),j=0..i-1)*product((x-x[k])/(x[i]-x[k]),k=i+1..n-1)
> od:
>
> Pn:=sum(f(x[p])*L[p],p=0..n-1): > print(plot({f(x),Pn},x=a..b));
>
> der := diff(f(x),x$n);
>
> prod := 1;
> for ii from 0 to n-1 do:
> prod := prod*(x-x[ii]) end do:
>
> ER := prod*der/factorial(n);
>
> plot({ER,f(x)-Pn},x=a..b);
>
> end proc; Figura 1.1 Aproximación con 3 puntos Figura 1.2 Error con 3 puntos Figura 1.3 Aproximación con 8 puntos Figura 1.4 Error con 8 puntos Gracias por su atención Donde las bases polinómicas de Lagrange Li se formulan como
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