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La linea del tempo 2

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by

Sara Cattivelli

on 9 September 2015

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Transcript of La linea del tempo 2

La linea del tempo
I numeri
I numeri
NATURALI
sono stati introdotti
naturalmente
dall'uomo, perchè contare è una sua necessità. Poi servirono anche per il commercio, per l'agricoltura, per la costruzione di edifici e hanno finito col prendere un posto predominante nella nostra vita.
Gli insiemi
Le funzioni
La logica
Le equazioni
Il calcolo letterale
matematica & fisica
PERCHE' SONO NATI I NUMERI?
Il concetto di
NUMERO
risale presumibilmente agli albori della civiltà.
Il più antico strumento di calcolo ritrovato è l'
osso di Ishango
, reperito in Africa e datato al 20.000 a.C.

Vi sono marcati dei gruppi numerici che compongono una addizione.
I numeri
NEGATIVI
, invece, nacquero quando l'uomo si rese conto che, con i soli numeri naturali, non tutte le
sottrazioni
potevano essere eseguite. Essi erano già noti a Babilonesi (A), Cinesi (B), Greci (C) e Indiani (D); in Europa se ne fece uso solo dal Medioevo.
1000 a.C.
50 a.C.
300 d.C.
700 d.C.
A
B
C
D
Le origini
PERIODO:
Neolitico
Il sistema di numerazione da noi utilizzato, però, è quello
ARABO
.
COME E' NATO LO ZERO?
Siccome i numeri nacquero per tenere il conto di ciò che si possedeva, per molto tempo non si sentì la necessità di inventare lo
ZERO
, poichè esso indica il niente, cioè ciò che non si possiede.
Probabilmente furono i Maya ad inventare per primi lo
ZERO
. Essi, però, non erano in grado di comunicare con le civiltà dell'Oriente e dell'Europa.
Gli Arabi tradussero il termine sanscrito
sunya
, che significa vuoto, nel termine arabo
sifr
.
sifr => zefir => zephirum => zefiro =>
ZERO
Gli Indiani possono essere considerati i primi ad aver scoperto o inventato lo
ZERO
. Fu, in particolare, il grande matematico Brahmagupta, (598-668 d.C.), a proporre«il primo esempio di aritmetica comprendente i numeri negativi e lo
ZERO
.
Vi è anche l'ipotesi che già i Greci avessero pensato a un numero che potesse rappresentare il nulla. Il simbolo dello
ZERO
potrebbe derivare dalla lettera o (omicron).
PROBLEMI INCONTRATI
E le origini di tutti gli altri numeri?
L'origine dei numeri razionali ed irrazionali è del tutto analoga a quella dei relativi: nel momento in cui l'uomo si accorse che alcune operazioni erano
incomplete
, ebbe la necessità di introdurre nuovi numeri.
5 : 3 =
?
=
?
In Italia i numeri relativi negativi furono introdotti da Leonardo Pisano detto
Fibonacci
(1175-1240), che ne faceva uso per indicare i debiti. Fibonacci, come molti altri venuti dopo, pur operando con questi numeri, però,
non li accettava come soluzioni di problemi
.
Nel rinascimento, poi, nacque una certa diffidenza nei confronti dei numeri negativi poichè creavano delle situazioni per l'epoca assurde.
(+3) : (-3) = (-3) : (+3)
I matematici del 1500 li definivano
NUMERI SURDI
.
I numeri negativi furono pienamente accettati solo dal
1700
.
E' un paradosso!
Le origini
Il diagramma di Eulero-Venn
E' la rappresentazione grafica di elementi di insiemi e delle loro reciproche relazioni.
Il matematico inglese
John Venn
, invece, viene ricordato nel nome di questo tipo di rappresentazioni di insiemi perchè utilizzò spesso questi diagrammi per rappresentare gli insiemi e le relative operazioni con essi durante i suoi studi.
Benchè la teoria degli insiemi nasca solo nella seconda metà del XIX secolo, già nel XVIII il matematico svizzero
Eulero
cominciò per primo ad utilizzare i diagrammi per rappresentare i sillogismi.
PERIODO:
XIX secolo
La prima trattazione sistematica della teoria degli insiemi è dovuta al matematico tedesco
George Cantor
(1845-1918) che definì l’insieme come segue:
QUANDO NACQUE LA VERA TEORIA DEGLI INSIEMI?
"Un insieme è una qualunque collezione di oggetti della nostra intuizione o del nostro pensiero. Gli oggetti, detti elementi dell’insieme, devono essere distinguibili e ben determinati."
La definizione di
Cantor
non è rigorosa, ma solo intuitiva. La teoria degli insiemi di Cantor è infatti detta teoria ingenua degli insiemi. In questa teoria è possibile costruire degli insiemi particolari che portano a delle
contraddizioni
.
PROBLEMI INCONTRATI
Bertrand Russell
Nel 1902
Bertrand Russell
(1872-1970) pose un
paradosso
che scosse la teoria di Cantor e che mise in crisi i matematici a lui contemporanei.
Ernst Zermelo
Una nuova teoria fu quindi sviluppata dal matematico tedesco
Ernst Zermelo
(1871-1953): fu chiamata teoria
assiomatica
degli insiemi.
Il concetto di
insieme
è uno dei concetti
primitivi della matematica.
Solo molto tempo dopo,
però, furono formulate delle
teorie
.
Le origini
Inizialmente la logica era strettamente legata alla filosofia. Solo dal
1500
si sviluppò in campo scientifico.
Già
Aristotele
(384-322 a.C.) aveva formulato qualche pensiero di tipo logico:

"tutti gli uomini sono intelligenti, tutti i Greci sono uomini e quindi tutti i Greci sono intelligenti".
PERIODO:
IV secolo a.C.
QUANDO NACQUE LA LOGICA MATEMATICA?
Nel 1600...
Tra i precursori della logica matematica troviamo il tedesco
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
Si deve a lui l'idea di un linguaggio simbolico
universale
che eviti le ambiguità del linguaggio naturale.
Nel 1800...
Un contributo decisivo alla formalizzazione della logica fu dato dall'inglese
George Boole
(1815-1864).
La sua logica si basa sui simboli e sulle regole: occorre analizzare le
premesse
e dedurre da esse le
conclusioni
attraverso opportune regole.
Tra il
Seicento
e il
Settecento
la logica fu connessa alla matematica anche grazie alla rivoluzione industriale e al risveglio di interesse per scienza e tecnica.
La
logica matematica
si è
sviluppata dallo studio della teoria degli insiemi.
Le origini
Non è facile collocare in un preciso periodo storico la nascita delle
funzioni
perchè esse sono venute alla luce poco per volta.
L'uomo si è sempre accorto dell'esistenza di certe quantità variabili che
dipendono
l'una dall'altra secondo regole matematiche precise (
es:
l'area rispetto al lato in un quadrato).
MA QUANDO NACQUE IL CONCETTO DI FUNZIONE?
PERIODO:
XVII secolo
Pierre de Fermat e Rene' Descartes
Furono i primi a trattare il
concetto di funzione
, nella prima metà del Seicento.
James Gregory
Precursore di Newton, fu il primo a formulare la
definizione di funzione
, espressa in modo chiaro e preciso, nel 1667.
Gottfried Wilhelm Leibniz
Già citato per gli studi nel campo della logica matematica, fu il primo ad usare il
termine "funzione"
nel 1684 in un suo manoscritto per indicare una quantità che varia da un punto all'altro di una curva.
Peter Dirichlet
"Una variabile y si dice funzione della variabile x in un certo intervallo, quando esiste una legge, di natura qualsiasi, la quale faccia corrisponderea ogni valore dato alla x
un valore e uno solo
per la y."
La sua proposta di
definizione
del 1829 era molto più ampia delle precedenti e si basava sul concetto di corrispondenza
univoca
, quello adottato da noi oggi.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
La sua
definizione
del 1878, invece, si basava sul concetto di corrispondenza
plurivoca
, a contrario di quella di Dirichlet in uso ai giorni nostri.
"Si dice funzione una quantità che si ottiene da altre quantità, mediante l'uso in successione di operazioni algebriche."
QUANDO FU SCRITTA LA PRIMA VERA DEFINIZIONE DI FUNZIONE?
Con il passare dei secoli,
l'uomo ha preso sempre più coscienza
dell'importanza delle
funzioni
.
Per questo
si può dire che le
funzioni
sono
sempre esistite ma nate solo recentemente.
PERCHE'
LETTERE AL POSTO DI NUMERI?
L'uso delle lettere consente di
generalizzare
un problema e quindi la sua risoluzione risulta valida anche per tutti gli altri problemi dello stesso tipo.
Si usano ad esempio per scrivere le
formule di carattere generale
:
A = b x h
=> ci permette di trovare l'area di qualsiasi rettangolo di cui si conoscano base e altezza (permette di risolvere tutti i problemi di quel tipo)
Le origini
PERIODO:
III millennio a.C.
I primi ad eseguire calcoli algebrici furono gli
Arabi
; anche
Babilonesi
ed
Egizi
, però, circa un millennio dopo, cominciarono a calcolare con numeri e lettere.
L'algebra come la intendiamo noi, però, nacque solo nell'
Alto Medioevo
e si sviluppò soprattutto nel
Cinquecento
.
Curiosita'...
Il papiro Rhind è il più esteso papiro egiziano di argomento matematico in nostro possesso.
Risale al 1700 a.C. circa e contiene 85
problemi algebrici
con relative soluzioni.
a
b
c
PERSONAGGI CELEBRI...
Paolo Ruffini
(1765-1822)
La sua fama è dovuta principalmente allo studio sui polinomi, in particolare alla regola da lui scoperta per un tipo di
divisione speciale tra polinomi
.
La regola di Ruffini
Scopo:
velocizzare il calcolo del quoziente tra un generico polinomio P(x) di grado n e un binomio del tipo (x-c).
Tale regola è contenuta nella sua opera
"Teoria generale delle equazioni"
del 1790.
Niccolo' Fontana detto Tartaglia
(1500-1557)
La sua fama è dovuta ai suoi studi in campo matematico, in particolare all'attenzione che dedicò al prodotto notevole
"potenza del binomio"
.
Scopo:
il triangolo di Tartaglia è necessario nello sviluppo delle potenze di un binomio. Esso serve per trovare i coefficenti del polinomio risultante.
Il triangolo di Tartaglia
Curiosita'...
Tartaglia non fu l'unico a scoprire le proprietà di questo triangolo...
Esso era già utilizzato da:
Arabi, con
Omar Khayyam
, attorno all'anno 1000
Cinesi, con
Chu Shin-Chieh
e
Yang Hui
, nel XIII secolo
Blaise Pascal
nel 1654, che lo caratterizzò con nuove proprietà (e prese anche il nome di Triangolo di Pascal)
z
x
y
Le origini
Più popoli nel mondo antico si occuparono delle equazioni. Pare, però, che i primi a risolvere le equazioni lineari (cioè di primo grado), fossero gli
Egizi
intorno al 2000 a.C.
PERIODO:
2000 a.C.
COME RISOLVEVANO LE EQUAZIONI GLI EGIZI?
Se al primo tentativo l'uguaglianza finale era impossibile, allora moltiplicavano il loro risultato per una somma di numeri interi e frazioni con numeratore 1, al fine di rendere l'uguaglianza corretta.
Gli Egizi risolvevano le equazioni (del tipo x+ax=b o x+ax+bx=c) andando per tentativi (con il
metodo di falsa posizione
).
Utilizzavano un sistema del tutto analogo anche i
Cinesi
.
I Babilonesi
I
Babilonesi
del 1900-1600 a.C. raggiunsero conoscenze molto più ampie rispetto agli Egizi.

Essi infatti:
svilupparono un metodo migliore nella risoluzione delle equazioni di
primo grado
si occuparono anche delle equazioni di
secondo grado
, ritenendo quelle di primo troppo semplici
I Greci
Per i
Greci
antichi l'algebra era strettamente legata alla
geometria
. Essi facevano uso di riga e compasso e risolvevano le equazioni solo se connesse a un problema.
Per esempio l'equazione 3x=12 doveva essere presentata in un questo modo:
"Quale altezza deve avere un rettangolo di base 3cm e di area 12cmq?"
Visto che la soluzione era un segmento,
non
erano accettati come soluzioni
valori negativi e frazioni
.
Gli Indiani
Brahamagupta (600 d.C.)
Aryabhata (476 d.C.)
Grazie agli studi di questi due matematici, anche gli Indiani, sebbene in ritardo rispetto alle altre popolazioni, trovarono metodi validi per la risoluzione di
equazioni di primo grado
.
Gli Arabi
Al-Khuwarizmi
(IX secolo d.C.)
E' considerato il padre dell'
ALGEBRA
perchè dopo essersi occupato di equazioni di primo e secondo grado, espose in modo chiaro, semplice ma esauriente le sue argomentazioni.
La riscoperta dell'algebra
L'
algebra
visse anche un periodo buio perchè fu a lungo legata a problemi esclusivamente pratici e quindi considerata materia per
mercanti o commercianti
, e non per uomini dotti.
Fu riscoperta nel
1500
perchè si intensificarono gli
scambi commerciali
e si sentì l'esigenza di un linguaggio semplice, facilmente comprensibile da persone di lingua e culture diverse.
PERSONAGGI CELEBRI...
Frate Luca Pacioli
Raffaele Bombelli
Nel suo trattato
"L'Algebra"
, introduce nuovi simboli e nuovi metodi per risolvere equazioni algebriche a coefficienti numerici.
L'opera
L'influenza di Diofanto
E' l'opera più importante ed autorevole dell'algebra del
Cinquecento
.
Diofanto
è un matematico greco del II secolo d.C., vissuto ad Alessadria d'Egitto e autore del trattato "
Arithmetica
".
Bombelli
prese le mosse da quest'opera: nei suoi libri, infatti, troviamo gli stessi termini "tanto", "quantità", "potenza", utilizzati nel
trattato diofanteo
, contrariamente all'esempio arabo.
QUANDO DIEDE IL SUO CONTRIBUTO L'ITALIA?
L'
algebra
(e quindi anche le equazioni) nacque
per risolvere problemi di carattere pratico.
Dalla geometria astratta
alla geometria euclidea
Le origini
PERIODO:
2000 a.C.
Le origini della geometria sono antichissime e legate principalmente a
necessità pratiche
.
Le conoscenze geomeriche avevano il solo fine di servire come
strumento pratico
per misurare
e costruire.
COM'E' NATA LA GEOMETRIA?
Gli Egizi...
Si pensa che la geometria sia nata proprio in
Egitto
:
le periodiche inondazioni del Nilo costringevano, infatti, gli Egizi a ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e quindi a
misurarle
.
I Babilonesi...
per progettare opere di
bonifica
Anche gli abitanti della
Mesopotamia meridionale
possedevano notevoli conoscenze matematiche e utilizzavano la geometria a fini pratici.
per risolvere problemi legati alla
distribuzione
delle proprietà terriere
La geometria è nata per
necessità
.
La geometria come vera scienza...
Talete
Periodo storico:
VII VI secolo a.C. (640-547)
Collocazione geografica:
Grecia
Studi:
matematica e filosofia
« Talete di Mileto fu senza dubbio il più importante tra quei sette uomini famosi per la loro sapienza - e infatti tra i Greci fu il
primo scopritore della geometria
, l'osservatore sicurissimo della natura, lo studioso dottissimo delle stelle »
Apuleio
Pitagora
Periodo storico:
VI V secolo a.C. (570-495)
Collocazione geografica:
Grecia
Studi:
matematica, astronomia e filosofia
Lo ricordiamo per...
il
TEOREMA DI PITAGORA
Insieme ad Euclide e Talete, Pitagora fu uno dei fondatori della geometria come vera scienza.
La geometria euclidea
Euclide
fu un matematico greco del IV-III secolo a.C., autore del più antico trattato di matematica giunto fino a noi, intitolato "
Elementi
".
L'opera
Nella sua opera Euclide raccoglie tutto il sapere geomentrico dell'epoca: i 13 libri non sono un'opera originale, cioè egli non è l'autore di tutti i risultati, ma organizzò in un sistema logico e completo tutto ciò che era stato scoperto fino ad allora nel campo della matematica.
1 e 2:
triangoli e parallelogrammi
3 e 4:
cerchio e poligoni regolari
5:
teoria delle proporzioni
6:
similitudine piana
7, 8 e 9:
numeri interi e frazioni
10:
algoritmo euclideo per la ricerca del MCD di due numeri, degli irrazionali quadratici e biquadratici
11, 12 e 13:
geometria dello spazio
Il metodo seguito è quello
ipotetico deduttivo
: a partire da assiomi e postulati, con deduzioni logiche, ricava teoremi e risolve problemi.
Elementi
COM'E' NATA LA GEOMETRIA EUCLIDEA?
La geometria euclidea è la geometria che si basa sui 5 postulati di
Euclide
, in particolare su quello delle parallele.
Data una retta e un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela alla data, passante per quel punto.
a
B
c
La
geometria
come vera scienza nasce quando l'interesse per la matematica non è più soltanto
utiliaristico ma risponde a
un
bisogno di conoscenza
.
La misura
Le origini
L'accordo sul significato e sul valore dei numeri risale a tempi remoti, mentre l'
unificazione delle unità di misura
è storia molto recente.
Per esprimere il risultato di una qualsiasi misurazione l'uomo si è sempre servito di numeri e di unità di misura.
PERIODO:
2000 a.C.
Le più antiche unità di misura facevano riferimento ad alcune parti del corpo.
Gli Egizi...
Il
cubito
(avambraccio) si pensa sia l'unità di misura utilizzata per costruire le piramidi.
Già ai tempi degli Egizi, però, ocorrevano dei sottomultipli per misurare lunghezze minori: ecco perchè fu necessario utilizzare anche la
spanna
e il
palmo
.
I Greci e i Romani...
Il campione di un piede era custodito con cura religiosa nel
tempio di Giunone
sul Campidoglio.
Le esigenze di Greci e Romani erano diverse da quelle degli Egizi: occorrevano delle unità di misura adatte per misurare strade e percorsi. Per questo le loro unità furono
piede
e
doppiopasso
.
QUANDO NACQUE IL METRO?
Utilizzando parti del corpo, le misurazioni non erano di certo precise poichè già l'unità di misura stessa variava da individuo a individuo.
Per questo vi fu la necessità di introdurre
misure precise
, quali il metro (m), nel caso della lunghezza.
Dunque nel
1791
la Francia per prima, e poi tutti gli altri paesi, adottò il metro come misura ufficiale della lunghezza.
I vettori
“La nozione di vettore (…) entrò nella matematica discretamente”
(Morris Kline, "Storia del pensiero matematico")
Le origini
Già in Aristotele, filosofo e scienziato del IV secolo a.C., quando tratta della composizione dei moti, si trovano riferimenti precisi a
grandezze vettoriali
.
PERIODO:
IV secolo a.C.
Aristotele, però, parlava solo concettualmente di
"vettore"
. Per arrivare all'idea di vettore che abbiamo noi, bisogna aspettare ancora qualche secolo...
Tra il 1700 e il 1800...
Carl Friedrich Gauss
Caspar Wessel
Jean Robert Argand
Con questi tre fisici si rappresentano i primi vettori piani con numeri complessi.
Vengono ricordati perche'...
QUANDO NASCONO I "NOSTRI" VETTORI?
I
vettori geometrici
, così come li conosciamo noi, devono la loro comparsa ufficiale a
Giusto Bellavitis
, nel 1830 circa.
Bellavitis pose le basi per il calcolo vettoriale, tuttavia la sua teoria presentava ancora dei
problemi
complessi, risolti solo decenni più avanti.
I fluidi
Archimede
Periodo storico:
III secolo a.C.(287-212)
Collocazione geografica:
Italia
Studi:
matematica e fisica
Lo ricordiamo per...
il
PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
S
= d V g
intensità della spinta
densità del fluido
volume del fluido spostato
costante di proporzionalità fra massa e peso
Curiosita'
La corona di Gerone

La leggenda:
si narra che il tiranno Gerone II gli avesse chiesto di determinare se una corona fosse stata realizzata in oro puro o utilizzando anche altri metalli.
Risolto il problema immerso in una vasca da bagno, uscì nudo di casa esclamando
"héureka!"
(ho trovato!)
Blaise Pascal
Periodo storico:
XVII secolo (1623-1662)
Collocazione geografica:
Francia
Studi:
matematica, fisica, filosofia e teologia
L'enunciato:
una
pressione
esercitata su qualsiasi superficie a contatto con un
fluido in equilibrio
si trasmette, con uguale valore, a ogni altra superficie a contatto con il fluido, comunque siano orientate le superfici.
Lo ricordiamo per...
il
PRINCIPIO DI PASCAL
Le origini
PERIODO:
III secolo a.C.
L’interesse per la
meccanica dei fluidi
risale alle primissime applicazioni ingegneristiche delle proprietà dei fluidi e alla necessità di realizzare delle macchine adibite a varie funzioni.
Archimede
fornì probabilmente il primo contributo in questo campo con l’invenzione della
pompa a vite
.
Altri personaggi celebri...
Simon Stevino
Periodo storico:
XVI-XVII secolo (1548-1620)
Collocazione geografica:
Olanda
Studi:
matematica, fisica e ingegneria
Lo ricordiamo per...
la LEGGE DI STEVINO
p - p
=
d h g
0
pressione in un punto del liquido
pressione in un punto del liquido situato più in alto
densità del liquido
distanza verticale fra i due punti
costante
Il termine
"fluido"
deriva dal verbo latino "fluere" che significa "scorrere".
liquidi
gas
Le forze
e l'equilibrio dei solidi
Le origini
Il concetto di
forza
ha subito profondi mutamenti nel corso della storia del pensiero filosofico e scientifico.
Aristotele
concepì la forza sia come un'
entità
insita nella materia, sia come
emanazione
da una sostanza a un'altra che, attraverso pressioni e tensioni, sarebbe in grado di spiegare il moto dei corpi.
PERIODO:
IV secolo a.C.
Giovanni Keplero
E' solo con
Keplero
che il concetto di forza acquista una nuova e moderna caratterizzazione.
L'opera
Nell'
"Astronomia Nova"
(1609), infatti, egli diede precisa definizione della forza, rappresentata come una
relazione matematica
che si suppone esista in un dato sistema fisico.
Isaac Newton
Periodo storico:
XVII XVIII secolo (1642-1727)
Collocazione geografica:
Inghilterra
Studi:
matematica, fisica, filosofia, astronomia, teologia e alchimia
Curiosita'
La mela di Newton
La leggenda:
si narra che Newton ebbe l'illuminazione nel momento in cui gli cadde in testa una mela:
"Perchè le
mele
cadono sempre verso il basso e non di lato o in su?"
Newton
, nelle tre leggi fondamentali del moto, diede la definizione più completa della forza come causa dell'accelerazione dei corpi, capace anche di far sentire i suoi effetti a distanza nel vuoto.
Periodo storico:
XVI-XVII secolo (1571-1630)
Collocazione geografica:
Germania
Studi:
astronomia, matematica e teologia
Lo ricordiamo per...
la
FORZA DI GRAVITA'
La scoperta:
la forza di gravitazione universale è la forza di attrazione, sulla Terra come nell'universo, ricavata mediante la relazione:
Teoria della gravitazione universale
Le
forze
sono
grandezze vettoriali
, in quanto di esse si possono
considerare intensità, punto di applicazione, direzione
e verso.
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