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건축물에 사용된 수학적 원리

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by

형석 김

on 21 September 2016

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Transcript of 건축물에 사용된 수학적 원리

건축물에 사용된 수학적 원리

목차
Ⅲ. 탐구 실험 <젠가를 이용한 건축물의 무게 버티기>
가설-건축물은 아치 형태를 갖춘 건축물이 무게를 가장 잘 버틸 것이다.

Ⅳ. 탐구 실험<페르마의 점에 대하여 알아보기>
Ⅰ. 탐구동기 및 주제
[건축물 속에 숨어있는 수학을 파헤쳐 보자!]
Ⅱ. 탐구목적
Ⅵ.탐구 실험 <도면 보고 건축물 실제로 만들기>
Ⅶ. 알게 된 점
1. 탐구동기 및 주제
2. 탐구목적
3. 탐구 실험 <젠가를 이용한 건축물의 무게 버티기>
요즘 주변에서 지진이나 태풍 등의 자연재해가 많이 일어나는데 그런 큰 피해를 입히는 자연재해를 견딜 수 있는 튼튼한 건축물의 특징이 궁금해져서 이 주제를 선정하게 되었다.
또한, 사람들이 선호하는 건축물의 비율은 어느 정도이며, 건축물을 가장 효율적으로 지을 때 응용한다는 페르마의 점이 과연 무엇이고 건축에는 무슨 도움을 주는지에 대해 추가로 더 탐구해 보고 싶어 이 점들을 추가로 더 탐구하고, 도면을 작성하고 그에 맞는 건축물 짓기까지 여러 가지 재료를 이용하여 실제로 해 보기로 하였다.
1. 젠가와 쌓기나무를 이용하여 직접 건축물을 만들어 보고, 건축물이 어느 정도의 무게까지 버틸 수 있는지 확인해 본다. 그 후, 가장 효율적인 건축물 구조가 무엇인지 알아본다.
2. 페르마의 점에 대하여 알아본 후 페르마의 점이 건축물을 짓는 데 어떤 이점을 제공해 주는지 알아본다.
3. 황금비율이라는 것에 대해 알아보고, 사람들이 가장 선호하는 비율인 황금비율로 건축물을 지으면 무슨 장점이 있을지 직접 교구를 이용해 지어 본 후 생각해 본다.
1. 탐구준비물
젠가, 같은 무게를 가진 도구, 연필, 저울
2. 탐구방법
가. 같은 무게를 가진 도구 여러 개의 무게를 잰다.
나. 젠가로 여러 가지 구조의 건축물들을 만든다.
다. 만들어진 도형이 무너질 때까지 같은 무게를 가진 것을 올린다.
라. 가장 무거운 것을 버틴 구조를 알아본다.
1. 탐구 방법
다큐멘터리를 시청한 후, 페르마의 점에 대하여 학습한 후 페르마의 점을 실제로 찾아보고, 뮌헨 올림픽 스타디움과 흡사한 건물을 페르마의 점을 응용하여 만들어 본다.
2. 탐구 과정 및 결과
1972년, 뮌헨에서 올림픽이 개최되었었다. 그 때 당시 건축가들은 어떻게 해야 디자인도 멋지고 가격도 효율적인 스타디움을 만들 수 있을까에 대해 깊게 고뇌하였다. 그 결과, 훌륭한 수학자인 페르마가 발표한 페르마의 점이라는 이론을 응용하여 스타디움을 만들게 되었고, 그 스타디움은 최고의 디자인과 최저의 가격을 갖춘 아주 효율적인 올림픽 스타디움이 되었다고 한다.
1. 탐구 방법
황금비율에 대하여 알아본 후, 대표적인 황금비율 건축물인 개선문을 직접 만들어 본다.

2. 탐구 과정 및 결과
황금비율은 눈에 편안한 안정감을 준다는 장점이 있다. 황금비율의 예로는 유전자 구조(이중나선모양), 인체(손가락 뼈, 얼굴 윤곽), 생활 용품(액자, 창문, 책, 십자가, 엽서, 신용카드 등), 건축물(피라미드, 오페라하우스, 개선문, 파르테논 신전, 비너스 상, 석굴암 등)이 있다. 그 중, 우리는 개선문에 대하여 탐구할 것이다. (참고로 황금비율은 약 1.618:1이다.)

우리는 추가로 도면을 직접 그린 후 우리만의 건축물을 실제로 만들어 보기를 하였다.
밑의 사진은 어떤 학교의 1층 평면도이다. 원래 도면은 이 정도로 약간 복잡하지만, 우리는 초등학생이고 건축에 대한 전문적인 지식은 없기 때문에 누구나 알아보기 쉬운 새로운 도면을 만들어 냈다.
1. 아치 형태를 이용한 건축물은 다른 건축물들보다 더 큰 무게를 버틸 수 있다.
2. 발은 우리의 몸무게를 지탱해야 하는 부분이기 때문에 힘의 분산이 필요하다. 그렇기 때문에 발은 자연스레 아치형이 된 것이다.


3. 다리는 윗부분의 무게를 지탱하여야 하기 때문에 힘을 분산시킬 수 있는 가장 최적의 형태인 아치형이 된 것이다.

Based on Jim Harvey's speech structures
4. 탐구 실험 <페르마의 점에 대하여 알아보기>
5. 탐구 실험 <황금비율에 대해 탐구하기>
6. 탐구 실험 <도면 보고 건축물 실제로 만들기>
7. 알게 된 점
4. 튼튼하고 멋진 건축물을 만들기 위한 도면을 작성해 보고, 도면을 보고 여러 가지 재료로 우리만의 건축물을 직접 만들어 본다.

=>이런 활동을 통하여 매일 보는 건축물들에 어떤 수학적 원리가 숨겨져 있는지에 대해 생각해 보고, 사물에 관심을 가지는 힘을 기른다.
3. 실험 시 유의사항
: 젠가를 쌓을 때 튼튼히 쌓는다.

4. 탐구 결과
견딘무게
36
21
20
7
12
20
28
17
구조
아치
n형
D형
2형
c형
O형
II형
8형
5. 알게 된 점
이 실험을 통하여 아치 형태를 이용한 건축물이 다른 건축물들보다 더 큰 무게를 버틸 수 있다는 것을 알게 되었다. 그런데 왜 아치 형태의 구조가 보다 더 큰 무게를 버틸 수 있는지에 대해 의문점이 생겼다. 생각을 해보니 아치 형태는 우리 인체의 발에도 있고 두 지역을 이어주는 다리에도 있다. 분명히 이는 버티는 것과 연관이 있다는 것이다. 연관성이 있다는 것을 알기 위해 우선 아치 형태에 대하여 알아보자. 아치 형태는 두 갈래가 있는데, 위에서 받는 힘을 두 갈래로 분산시켜 한 쪽이 받는 충격량을 줄이는 것이다. 그렇기 때문에 다른 구조와 달리 아치형태가 튼튼한 것이다. 아치형태의 구조를 참고하여 발과 다리는 왜 아치 형태인지 알 수 있다. 우선 발은 우리의 몸무게를 지탱해야 하는 부분이기 때문에 힘의 분산이 필요하다. 그렇기 때문에 발은 자연스레 아치형이 된 것이다. 그 다음, 다리 역시 아치형이 대부분이다. 다리 역시 윗부분의 무게를 지탱하여야 하기 때문에 힘을 분산시킬 수 있는 가장 최적의 형태인 아치형이 된 것이다.

의 한 점이기 때문이다. 그런데, 이렇게 실생활에 유용하게 쓰인 페르마의 점은 어떻게 찾을 수 있을까? 페르마의 점은 비눗물로 쉽게 찾아볼 수 있다고 한다. 그래서 우리는 비눗물을 이용한 페르마의 점 찾기 실험을 직접 해 보았다.
페르마의 점 찾기 실험은 매우 간단하다. 페르마의 점은 어떤 도형을 만든 뒤, 그 도형을 비눗물에 직접 담궈 보고 꺼내면 생긴다. 각 꼭짓점에서 면이 생겨 가운데로 향하고, 면들이 모이는 곳이 페르마의 점이 되는 것이다. 그런데, 여기에서 하나의 의문점이 더 생긴다. 페르마의 점은 어떻게 비눗물을 이용하여 간단히 찾을 수 있는 것일까? 그 원리는 알고 보면 매우 간단하다. 비눗물에 입체도형을 담궈 보면 비누막이 생기는데, 비누막은 최소한의 면적을 가지려고 하는 성질이 있기 때문이다. 페르마의 점은 거리의 합이 최소가 되도록 하는 점이니 비누막은 페르마의 점을 찾을 수 있게 도와주는 것이다. 참고로 비누막 최적화 각도는 120도이며 벌집, 현무암 기둥 등에서 찾을 수 있다고 한다.
이를 응용하여 입체 도형에서의 페르마의 점은 과연 어디에 있을지 알아보았다. 우리는 정육면체를 대상으로 페르마의 점을 찾아보았다. 처음에는 페르마의 점을 위의 평면과 다르지 않게 찾을 수 있었는데, 한 번 더 집어넣어 보니 신기한 결과를 얻게 되었다. 페르마의 점이 또 하나의 정육면체로 변한 것이다. 사진 상으로 잘 보이지는 않지만, 정육면체 안에는 점이 아닌 정육면체가 하나 더 들어 있는 것이다. 이와 같이 페르마의 점이 정육면체가 된 이유는 페르마의 점을 또 다른 꼭짓점으로 친 뒤 그것을 이용하여 또 다른 페르마의 점을 만들었기 때문이라고 생각한다.

페르마의 점 찾아보기를 통해 건축물도 직접 만들어 보았다. 이 건축물은 앞에서 소개한 뮌헨 올림픽 스타디움이다. 조금 허술해 보이긴 하지만, 예술성을 돋보이기 위해 이렇게 만든 것이다 -_-(믿어줘요).
건축물
페르마의 점 실험
입체도형
입체 도형2
3. 알게 된 점

이 실험을 통하여 우리는 페르마의 점이 가격을 가장 효율적으로 만들어주는 대표적인 국민 효자라는 것을 알 수 있었고, 거기에 덧붙여 창의적인 생각만 있다면 예술적인 건축물도 만들 수 있다는 것을 알게 되었다. 참 뜻깊은 실험이었다.
Ⅴ.황금비율에 대해 탐구하기
3. 알게 된 점
우리가 보기에 아름다운 건축물들은 대부분 황금비율로 이루어져 있고, 우리가 주변에서 흔히 볼 수 있는 물건들마저 황금비율로 이루어져 있다는 것을 알게 되었다. 또한, 생김새만 알지 막상 이름은 모르던 황금비율 건축물들의 명칭과 세부적인 내용들도 정확히 알게 되었고, 정확하지는 않지만 대략적인 황금비율의 값까지 알게 되었다. 기회가 된다면, 개선문이 아닌 다른 황금비율 건축물을 만들어 보고 싶다.

어느 학교(대구 강북초등학교)의 1층 평면도
우리가 만든 집의 지붕 평면도
위에서 본 모습
앞에서 본 모습
우리는 간단한 건축물을 이와 같이 만들어 보았다. 이 건축물은 Post가 8개, Trass가 4개, Perlin이 6개가 사용되었다. 지금 우리가 만들어 본 건축물은 기초 중 기초지만, 시간을 더 두고 만든다면 높은 고층 아파트까지 만들어 볼 수 있다고 생각한다. 한 번도 해보지 못했던 건축물 만들기 탐구를 직접 해 보아 새로웠다는 느낌이 들었다. 좋은 경험이었다.

4. 페르마의 점이란, 내부의 한 점에서 세 꼭짓점에 이르는 거리의 합이 최소가 되는 삼각형의 내부의 한 점을 말한다.

5. 페르마의 점은 도시를 연결하는 송유관이나 통신망설계에 이용된다고 한다.
6. 페르마의 점은 어떤 도형을 만든 뒤, 그 도형을 비눗물에 직접 담가보고 꺼내면 생긴다.

7. 비눗물에 입체도형을 담가보면 비누막이 생기는데, 비누막은 최소한의 면적을 가지려고 하는 성질이 있기 때문이다. 페르마의 점은 거리의 합이 최소가 되도록 하는 점이니 비누막은 페르마의 점을 찾을 수 있게 도와주는 것이다. 참고로 비누막 최적화 각도는 120도이며 벌집, 현무암 기둥 등에서 찾을 수 있다고 한다.
8. 처음에는 입체도형의 페르마의 점을 평면과 다르지 않게 찾을 수 있었는데, 한 번 더 집어넣어 보니 신기한 결과를 얻게 되었다. 페르마의 점이 또 하나의 정육면체로 변한 것이다. 그 이유는 페르마의 점을 꼭짓점으로 친 뒤 그것을 기준으로 페르마의 점 하나를 더 만들었기 때문이라고 생각한다.

9. 황금비율은 눈에 편안한 안정감을 준다는 장점이 있다. 황금비율의 예로는 유전자 구조(이중나선모양), 인체(손가락 뼈, 얼굴 윤곽), 생활 용품(액자, 창문, 책, 십자가, 엽서, 신용카드 등), 건축물(피라미드, 오페라하우스, 개선문, 파르테논 신전, 비너스 상, 석굴암 등)이 있다. 참고로 황금비율은 약 1.618:1이다.

10. 건축 용어로 기둥을 Post, 삼각형 부분으로 이루어져 있는 것을 Trass, 지붕을 만들기 위한 것을 Perlin이라고 부른다.
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