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DERIVADAS APLICADAS A LA ECONOMIA

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Diego Arellano C

on 31 July 2014

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DERIVADAS APLICADAS A LA ECONOMIA
Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:
R(x) = xy = x-f(x)
A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:
-INGRESO PROMEDIO
Rp = r(x) / x
-INGRESO MARGINAL
Rm = R ‘(x)
Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien.

GANANCIAS
Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:
G(x) = R(x) – C(x)
Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :
G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0
r’(x) = C’(x)
Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

CONCLUSIONES
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMÍA


EJERCICIO 5
Un fabricante puede producir radios a un costo de 5 dólares cada una y estima que si se venden a X dólares cada uno, los consumidores compraran 20-x radios por día. ¿A qué precio debe vender las radios, el fabricante para maximizar la utilidad?
Datos:
Costo de producción: $5
Precio de venta: $X dólares
Cantidad consumida: (20-X) radios por día
R=IT-CT
B(x)=(20-x)x-5(20-x)
B(x)=20x-x^2-100+5x
B^' (x)=20-2x+5
B'(x)=25-2x
Igualamos a cero la primera derivada
25-2x=0
x=12.5 Rpta.
B^'' (x)=-2<0 maximo
Entonces debe vender a $12.5 para maximizar su beneficio.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor
a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
[a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
TVM[a,b] =(f(b)-f(a))/(b-a)

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería : (f(a+h)-f(a))/h
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero.
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.



COSTOS
Si el numero de unidades de un bien es . x; entonces el costo Total puede expresarse como:
A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:
- COSTO PROMEDIO:
Cp = C (x) / x = y
- COSTO MARGINAL:
Cm = C ‘ (x) = dy / dx
- COSTO PROMEDIO MARGINAL:
Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2
d/dx * Cp

EJERCICIO 4

Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p + 200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.
S(p)=4p + 200 D(p)= -3p +480
En punto de equilibrio: S(p) = D(p)
4p + 200 = -3p +480 7p = 280 p = 40

S(40)=4(40) + 200=360 D(40)= -3(40) +480=360

INGRESOS
EJERCICIO 1 :
1) La función de demanda para un cierto artículo es D(p)=160-2p, donde p es el preció a que se vender el artículo. ¿A qué precio es mayor el gasto de consumo del artículo?
D (p)=160-2p p=precio de venta
G (p)=(160-2p)p
G (p)=160p-2p^2
G'(p) =160-4p
160=4p
40=p G’’ (p) =-4<0 máximo
Si la función de utilidad consumidor U=q_1.q_2-3q_1^2,P_1=5, P_2=10 y el ingreso del consumidor es 180. Determine las cantidades q_1 y q_2que debería comprar para maximizar la utilidad.
U=xy-x^2 Px=3 Py=6 y^0=90
g(x,y)=5x+10y=180 gx=1 gy=2
x+2y=36
→∂U/∂x=y


Sabemos que la economía va de la mano de la matemática, y viene desde siglos atrás, por lo cual hoy cumple muchas funciones para ver una realidad mas simplificada.

 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.-
Si x es el numero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:
Y = f (x)
Donde:, en la practica x se toma siempre positivo.
Si: f’ > 0 ; la función es de oferta
Si: f < 0; La función es de Demanda.
El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

2) Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?

Árboles de naranja= AN1= 60 Producción media= PM1 = 400
AN2 = 60 + x PM2 = 400 – 4x
Producción total = PT = (60 + x)( 400 – 4x)
PT = 2400 + 160x – 4x2
Para maximizar PT
160-8x=0 donde x=20
-8<o

PN = 60 + x = 60 + 20 = 80
Ejercicio 3:
Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dolares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dolar de incremento en el precio se venderán 1000 bombillas menos cada mes.El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dolares por bombilla.¿A que precio debería vender el fabricante las bombillas para generar el mayor beneficio posible?

solucion:

P1=6 Q1=6000 P2=6+X Q2=6000-1000X
C=4X
Ahora estableceremos la función beneficio en el cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y la segunda derivada es negativa,comprobaremos:
B=(6+x)(6000-1000x) -4x
B=36000-4X-1000°
derivando: -4-2000x x=0.0002
Entonces diremos que el fabricante para obtener mas beneficios debe reducir el precio en 0,0002
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