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Software

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by

Yari B.L

on 19 July 2013

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Examen Software de Ingeniería
Presentación de Tarea 1 y 2
Tarea 1
Resolver un problemas en Matlab con Diferencias Finitas, aplicados a problemas matemáticos.

Con este mismo método de las diferencias finitas crear un programa para resolver problemas como el de la Viga Reforza y de la Chimenea.

Problema 1
Deben resolver en Matlab con diferencias finitas el problema
ux+ut+2u=0, u(1,x)= 1, Región [0,1]x[0,1]
Usando una diferencia no centrada para la primera derivada.
Considerando h=0.25 y h=0.1
Comparar las soluciones y gráficar.

¿Qué son las Diferencias Finitas?
Es un método que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos. Es de una gran sencillez conceptual y constituye un procedimiento muy adecuado para la resolución de una ecuación bidimensional como la que hemos planteado.

Tarea 2
Resolver problemas matemáticos por método de elementos finitos
¿Como se aplica?
El primer paso para la aplicación del método consiste en discretizar el recinto del plano en el que se quiere resolver la ecuación con una malla, por conveniencia cuadrada. Los puntos de la malla están separados una distancia h en ambas direcciones x e y.
¿Qué es método de Elemento Finitos?
Problema 2
Resolver el problema
y''+(2/x)y'+y=(2/x)
y(1)= 3.3818 y(2)= 1.2466
Solución exacta y(x)=(seno(x)+cos(x)+seno(x)^2+cos(x)^2+1)/x

Con Galerkin para n= 4y n=20,(n + 1 si contamos el 0) grafique y compare con la solución exacta. (para n=20, use lo indicado en archivo 2º ejemplo Galerkin)
Con Ritz, para n= 4y n=20,(n + 1 si contamos el 0) grafique y compare con la solución exacta, considerando el funcional asociado es
Problema 3
Deben programar en el lenguaje que ustedes deseen el problema de la flexión en una barra reforzada, por el método de las diferencias finitas.
El programa debe :
a)Resolver para distintas discretizaciones (número de nodos variable , Debe considerar que el número de nodos debe ser par)
b)Presentar la solucíón , su gráfica en R2 y además pintar sobre el elemento con escala asociada (ver gráfico más abajo). Deben entregar código fuente y ejecutable
Problema 4
Transferencia de calor en una chimenea, por el método de las diferencias finitas.
Deben entregar código fuente y ejecutable. El programa debe :
a)Resolver para distintas discretizaciones (número de nodos variable)
b)Presentar la solución y además pintar sobre el elemento con escala asociada.
Este pintado debe ser
opción 1 sólo los nodos
opción 2 promediar los valores de los vértices y pintar el objeto.
Solución
Con nuestro grupo no pudimos llegar a una solución, pero mas en la parte de programación este problema se desarrollaba de la siguiente forma

Solución
Para el problema 2, primero de debe calcular el valor de fi(0), este lo obtuvimos con reemplazando los valores dado en la ecuación, resultando la siguiente expresión:
Solución
Para llegar a la solución de este problema , primero lo desarrollamos como un problema genérico , como se muestra a continuación:
Gráfica para h=0.1
Gráfica para h=0.25

ux+2t+2u = 0 derivamos con respecto a "x" y "t"

(∂u/∂x)+(∂u/∂t)+2u = 0 Aplicamos la def. de derivada

((u(t, x+h) - u(t,x))/h)+((u(t+h, x) - u(t,x))/h) +2u(t,x) = 0

u(t,x+h)-u(t,x)+u(t+h,x)-u(t,x)+2hu(t,x) = 0

u(t,x+h)-2u(t,x)+2hu(t,x)+u(t+h,x) = 0

Sea t= i , x=j y h=1(los valores de h al interior del paréntesis)

u(i,j+1)-2u(i,j)+2Hu(i,j)+u(i+1,j) = 0





Ahora se sustituye los valores de h=0.1 u h=0.25, en mi caso usare h=0.25
u(i,j+1)-2u(i,j)+2(0.25)u(i,j)+u(i+1,j) = 0
Obteniendo
u(i,j+1)-2u(i,j)+1.5 u(i,j)+u(i+1,j) = 0
Para ambos casos en matlab
h=0.25 o h=0.1
i=1/h
n=i+1

Esta expresión es la que calculamos al principio
y=-2.1352 x + 5.517 => fi(0) = -2.1352 x +5.517
fi(1) = (x-1)(x-2)
fi(2) = x * fi(1)
:
fi(n) = x* fi(n-1)
Ahora puedo obtener mi y aproximado (ya), lo obtengo
ya = fi(0) + a1 *fi(1)+a2*fi(2)+...+an*fi(n)
Ahora para calcular el error, reemplazo mi ya en la expresión dada, donde y=ya
Error = (ya)''+(2/x)(ya)'+(ya)-(2/x)

Ahora para obtener los valores de a, debemos:
ecu(1) = int( fi(1)* Error * dx)
:
ecu(n-1) = int( fi(n-1)* Error* dx)
Garlerkin
Ritz
Utilizando el ya , este lo reemplazo en el funcional :
obteniendo la siguiente expresión:

I[y]=((diff(ya,x,1)^2)*(x^2))-((ya^2)*(x^2))+(4*x*ya))
Donde buscamos obtener un F
F=integral (I[y])= int (I,x,1,2)
Ahora se calcula los valores de a1,a2,...,an
ecu(1) = diff (F,a1)
ecu(2) = diff (F,a2)
:
ecu(n) = diff (F,an)
Solución
Se considera el problema diferencial:
con fi(0)= fi(L)=0

utilizando la definición de derivada
dejamos a la izquierda todos los fi
resultando la siguiente expresión:
Flexión interna
Resistencia de la viga
Planteamiento
Ec. Diferencial
aplicamos la def. de derivada
Expresión para los puntos en la malla
Es una aproximación númerica por el cual las ecuaciones diferenciales son resueltas de forma aproximada.
Se discretiza la región en partes pequeñas, llamadas elementos finitos, entonces la aproximación se lleva a cabo sobre cada elemento. El conjunto de todos los elementos es denominado malla de elementos finitos.
Problema 1
El problema de la la flexión en una barra reforzada, por el método de los elementos finitos, considerando una función de aproximación cuadrática en coordenadas cartesianas . El programa debe :
a)Deben resolver para distintas discretizaciones (número de nodos variable , y considerar que el número de nodos debe ser múltiplo de 4).
b) Presentar la solución, su gráfica en R2 y además pintar sobre el elemento con escala asociada.
c) Presentar un informe con las matrices y vectores elementales obtenidos. (pueden usar Matlab para obtenerlos).
Problema 2
Deben programar en Java, C, C++,o Delphi, el problema de la chimenea por el método de los elementos finitos considerando elementos cuadriláteros y triangulares con aproximación cuadrática en coordenadas naturales.
En el texto de Moaveni, y en el libro Elementos Finitos, está el desarrollo para el caso lineal.
El programa debe :
a)Resolver para distintas discretizaciones (número de elementos variable).
b)Presentar la solución y además pintar sobre el elemento con escala asociada.
c) Presentar un informe con las matrices y vectores elementales obtenidos. (pueden usar Matlab para obtenerlos).La matrices elementales que deben obtener y anotar en el informe se encuentran en las páginas 76 y 77 del texto Elementos Finitos
Problema 3
Deben resolver en CREO (ex Proengineer) el problema 1
Solución
xi; %posicion inicial
xj = xi + L/2;
xk = xj + L/2;
Ni = (2/L^2)*(x-xj)*(x-xk);
Nj = -(4/L^2)*(x-xi)*(x-xk);
Nk = (2/L^2)*(x-xi)*(x-xj);
N = [Ni, Nj, Nk];
Como primer paso , dividimos nuestra viga en cuatro partes, luego obtenemos las funciones para aproximación cuadrática
Funciones de forma
Luego resolvermosla integral para calcular K y F, con respecto a x entre xi y xk
Ke = int((transpose(diff(N,x))*(diff(N,x))), x, xi, xk)
Fe = int(N, x, xi, xk);
Para el caso de la viga cuando vale 800 cm con 4 nodos:

Se obtienen los valores para:
K1 y F1: cuando xi = 0;
K2 y F2: cuando xi = 200;
K3 y F3: cuando xi = 400;
K4 y F4: cuando xi = 600;
Luego calculamos la matriz de localización
L1 = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0];
L2 = [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0];
L3 = [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0];
L4 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1
L1 L2 L3 L4

Y luego añadiendo las condiciones de borde correspondientes:
-Se hace 0 toda la primera fila, excepto la primera posición.
-Se hace 0 toda la última fila, excepto la última posición.
-Se hace 0 la primera y última fila del vector F
Luego obtenemos los valores de las K
Ki = Li’*Ke*Li;
K = K1 + K2 + K3 + K4;
Fi = Li’*F
F = –F1 – F2 – F3 – F4;
Resultado Final
La matriz K obtenida es:



El vector F obtenido es:

[ 7/(3*L), -8/(3*L), 1/(3*L)]
[ -8/(3*L), 16/(3*L), -8/(3*L)]
[ 1/(3*L), -8/(3*L), 7/(3*L)]
[ L/6, (2*L)/3, L/6]
Solución
Primero calculamos los nodos de la Chimenea

N11=(-1/4)*(1-e)*(1-n)*(1+e+n);%(-1.-1)
N12= (1/2)*(1+e)*(1-e)*(1-n);%(0.-1)
N13=(-1/4)*(1+e)*(1-n)*(1-e+n);%(1.-1)
N14=(1/2)*(1+e)*(1-n)*(1+n);%(1.0)
N15= (-1/4)*(1+e)*(1+n)*(1-e-n);%(1.1)
N16=(1/2)*(1+e)*(1-e)*(1+n);%(0.1)
N17= (-1/4)*(1-e)*(1+n)*(1+e-n);%(-1.1)
N18= (1/2)*(1-e)*(1+n)*(1-n);%(-1.0)
Nc = [N11, N12, N13, N14, N15, N16, N17, N18];
Para el Cuadrado
Para el Triangulo
N21 = (2)*(1-e-n)*(0.5-e-n); %(0,0)
N22 = (2)*(e)*(e-0.5);%(1,0)
N23 = (2)*(n)*(n-0.5);%(1,1)
N24 = (4)*(e)*(1-e-n);%(0.5,0)
N25 = (4)*(e)*(n);%(0.5,0.5)
N26 = (4)*(n)*(1-e-n);%(0,0.5)
Nt = [N21, N22, N23, N24, N25, N26];
Kte = (1/6)*int(int(diff(transpose(Nt),e)*diff(Nc,e),n,-1,1),e,-1,1);
Ktn = (1/6)*int(int(diff(transpose(Nt),n) * diff(Nc,n),n,-1,1),e,-1,1)
Calculamos el Valor de K para el triangulo
Obteniendo
Matriz triangulo e
[ 30, -32, 2, -24, 18, -32, 14, 24]
[ 18, -32, 14, -8, 14, -32, 18, 8]
[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[ -48, 64, -16, 32, -32, 64, -32, -32]
[ 8, 0, -8, 0, 8, 0, -8, 0]
[ -8, 0, 8, 0, -8, 0, 8, 0]
Matriz triangulo n
[ 30, 24, 14, -32, 18, -24, 2, -32]
[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[ 18, 8, 18, -32, 14, -8, 14, -32]
[ -8, 0, 8, 0, -8, 0, 8, 0]
[ 8, 0, -8, 0, 8, 0, -8, 0]
[ -48, -32, -32, 64, -32, 32, -16, 64]
Obtenemos los valores para k del cuadrado
Kce = (1/90)*int(int(diff(transpose(Nc),e)*diff(Nc,e),n,-1,1),e,-1,1);
Kcn = (1/90)*int(int(diff(transpose(Nc),n) * diff(Nc,n),n,-1,1),e,-1,1);
Obteniendo
Matriz cuadrado e
[ 52, -80, 28, -6, 23, -40, 17, 6]
[ -80, 160, -80, 0, -40, 80, -40, 0]
[ 28, -80, 52, 6, 17, -40, 23, -6]
[ -6, 0, 6, 48, 6, 0, -6, -48]
[ 23, -40, 17, 6, 52, -80, 28, -6]
[ -40, 80, -40, 0, -80, 160, -80, 0]
[ 17, -40, 23, -6, 28, -80, 52, 6]
[ 6, 0, -6, -48, -6, 0, 6, 48]
Matriz cuadrado n
[ 52, 6, 17, -40, 23, -6, 28, -80]
[ 6, 48, 6, 0, -6, -48, -6, 0]
[ 17, 6, 52, -80, 28, -6, 23, -40]
[ -40, 0, -80, 160, -80, 0, -40, 80]
[ 23, -6, 28, -80, 52, 6, 17, -40]
[ -6, -48, -6, 0, 6, 48, 6, 0]
[ 28, -6, 23, -40, 17, 6, 52, -80]
[ -80, 0, -40, 80, -40, 0, -80, 160]
Fin
Gracias por su atención
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