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Das Newton - Verfahren

GFS
by

Jaroslav Borodavka

on 19 February 2013

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Transcript of Das Newton - Verfahren

Das Newton - Verfahren GFS von Jaroslav Borodavka Klasse 10 b Gliederung I. Der Zweck des Newton - Verfahrens II. Die Newtonsche Iterationsformel III. Beispielaufgabe IV. Das Scheitern des Newton - Verfahrens V. Quellen I. Der Zweck des Newton - Verfahrens Näherungsverfahren/Iterationsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen iteratio (lat.): Wiederholung Wiederholung des gleichen Schritts Iterationsverfahren Folgendes Problem:
f(x) = 0 ; x ist gesucht
x wird näherungsweise ermittelt
beliebig genau, nicht exakt
( d.h. auf beliebig viele Stellen hinter dem
Komma ) Wozu überhaupt ? Bekannte Gleichungen:
Lineare Gleichungen (z.B. 3x - 8 = -5x + 2)
Quadratische Gleichungen (z.B. 4x² + 6x - 10 = 0) x + x³ - 1 = 0 4 (Gleichungen höheren Grades) x + 0,1 = x³ + sin x 5 (Trigonometrische Funktionen) } keine Lösungsformel für unser Problem Näherungsverfahren II. Die Newtonsche Iterationsformel Problemstellung:
f: f(x) = 0 ; x* gesucht Startwert x nahe x* festlgen 0 Funktion f sei gegeben Ableitungsfunktion f aufstellen Tangente t am Punkt P ( x I f(x )) erstellen 0 Tangentengleichung aufstellen I 0 I Nullstelle x der Tangentengleichung ermitteln ( 1. Annäherung/Approximation) 1 Tangente t am Punkt P (x I f(x )) 0 1 1 1 Iterieren der Schritte x* f: f(x) x 0 P 0 Tangente t x 1 P 1 1 Tangente t 2 x 2 Näherungswert für x* erhalten f (x) = x - 1 I Iterationsformel: allg. Tangentengleichung: y = f (x ) x + f (x ) - f (x ) x 0 0 0 0 . . Bei x ist y = 0 1 Einsetzen des Punktes z.B. P ( x I f(x )) in Tangentengleichung: 1 1 1 0 = f (x ) x + f (x ) - f (x ) x 1 0 0 0 0 Auflösen nach x : 1 . . x = x - f (x )
f (x ) 1 0 0 0 Selbe Gleichung bei x und x 2 3 Allgemeine Iterationsformel: x = x - f (x )
f (x ) n n - 1 n - 1 n - 1 I Voraussetzungen für das Newton - Verfahren Ein Startwert x in der Nähe der gesuchten Nullstelle
Funktion f muss differenzierbar sein
Für alle n muss f (x ) = 0 gelten n 0 III. Beispielaufgabe (Tafel) Aufgabenstellung:
Bestimme die Nullstelle der Funktion f mit dem Newton - Verfahren. f: f(x) = 2x - x³ - 3 5 f (x) = 10x - 3x² I 4 Gegeben: Vorstellung vom Graphen f
Iterationsformel
Startwert x Gesucht: Nullstelle x* Quellen: Websites:
www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/nullstellenapproximation/newtonverfahren.html
www.rechneronline.de/funktionsgraphen/
www.haendelgym.cidsnet.de/p_html/media/download_gallery/Newtonverfahren_mit_dem_Taschenrechner.pdf
do.nw.schule.de/goethe-gymnasium/joom/projekte/Mathematik/Newton.pdf
Videos:
www.youtube.com/watch?v=zM99XMSjuJc
www.youtube.com/watch?v=wxUlGcZFB50
www.youtube.com/watch?v=UPNpcpmOFh8
Bücher:
"Lambacher Schweizer 6 Mathematik für Gymnasien" (Ernst Klett Verlag)
"Das große Tafelwerk: Sekundarstufen I und II" (Volk und Wissen) Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit ! 0 Die Funktion f besitzt an der Stelle x* 1,184 eine Nullstelle. 1 2 Schritt n x f(x ) f (x )

0 2,000 53,000 148,000

1 1,642 16,445 64,605

2 1,387 4,598 31,238

3 1,240 0,957 19,029

4 1,190 0,088 15,805

5 1,184 -0,006 15,446

6 1,184 0,000 (…) 15,470 n n n
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