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Función exponencial

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Lorena Cosío

on 3 March 2015

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Transcript of Función exponencial

Lorena Cosío Cuadros 6ºTAE
Funcón exponencial
Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
f (0) = a0 = 1.

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
f (1) = a1 = a.

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.
f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).




Propiedades de las funciones exponenciales
Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)n

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos .
La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.
La función ex
Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:
Ax = Ay.
En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
## Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

Representación gráfica de la función exponencial
¿Qué es una función exponencial?

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:



Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:
Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:
Ax = Ay.

En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

Representación gráfica de varias funciones exponenciales
Función exponencial, según el valor de la base.
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

1- ax = ay ⇔ x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

2- ax.ay = ax + y

3- ax/ay = ax - y

4- (ax)y = ax.y
El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.

Ejemplo
Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1

Práctica:
1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5)

2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:

Bibliografías
http://www.hiru.com/matematicas/funcion-exponencial

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/ap05_funciones.php

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm
Resolución
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