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Copy of DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

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Jose Luis Alvarez

on 22 May 2014

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Distribución de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas
Distribución Binomial
Distribución Hipergeométrica
Distribución de Poisson
Distribuciones de
Probabilidad

Aproximación Normal de Probabilidad Binomial y de Poisson
Distribución Normal
de Probabilidad
Puntos Percentiles para
Variables con Distribución Normal
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta aplicable como modelo de situaciones de toma de decisiones en las que puede suponerse que un proceso de muestreo responde a un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en el que:

a) En cada ensayo u observación sólo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes.
Para simplificar, se les llaman éxito y fracaso.

b) Los resultados de la serie de ensayos u observaciones constituyen eventos Independientes

c) La probabilidad de éxito de cada ensayo, indicada por p, es constante de un ensayo a otro
Esto es, el proceso estacionario.
Distribución de Probabilidad Binomial
La distribución binomial puede servir para determinar la probabilidad de obtener un número establecido de éxitos en un proceso de Bernoulli. Se requiere de tres valores:

1) El número establecido de éxitos (X)

2) el número de ensayos, u observaciones (n)

3) y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Si q= (1-p), la fórmula para determinar la probabilidad de un número específico de éxitos X en una distribución binomial es:
Ejemplo
La probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0.20. Si un representante de ventas visita a seis prospectos, ¿Cuál será la probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas?
Ejemplo 1
Ejemplo 2
En relación con el ejemplo 1, ¿Cuál será la probabilidad de que el vendedor realice 4 o más ventas?
Nota: Recuérdese que cualquier valor elevado a la cero potencia es igual a 1.
Puesto que el uso de la formula binomial implica gran número de operaciones aritméticas cuando la muestra es relativamente grande, suelen emplearse las tablas de probabilidades binomiales.
Ejemplo 2
Si la probabilidad de que un prospecto de venta aleatoriamente elegido realice una compra es de 0.20, ¿Cuál será la probabilidad de que un vendedor que visita a 15 prospectos realice menos de tres ventas?
Los valores de p reunidos en la tabla de probabilidades binomiales no exceden de p=0.50. Si en una aplicación en particular de p excede de 0.50, el problema debe replantearse para definir el evento en términos del número de fracasos en lugar del número de éxitos.
El valor esperado (media) y la varianza de una distribución binomial dada podrían determinarse listando la distribución de probabilidad en una tabla y aplicando las formulas correspondientes. Sin embargo, el número esperado de éxitos puede calcularse directamente:
Si q = (1 – p), la varianza del número de éxitos también puede calcularse directamente:
En relación con el ejemplo 2, el número esperado de ventas (como promedio a largo plazo), la varianza y la desviación estándar asociados a la visita de 15 prospectos son:
Ejemplo 4
Ventas esperadas
Dispersión de cada variable respecto a la esperanza
Ventas (dispersión respecto a la media)
Problemas
Problema 1
1) A causa de las condiciones económicas imperantes, una empresa informa que 30% de sus cuentas por cobrar a otras empresas comerciales están vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de 5 de esas cuentas, determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos

a) Ninguna de las cuentas está vencida,

b) Exactamente dos cuentas están vencidas

c) La mayoría de las cuentas están vencidas

d) Exactamente 20% de las cuentas están vencidas.
Solución
Problema 2
Una empresa de pedidos por correo tiene una circular que produce una tasa de respuesta de 10%. Supóngase que 20 de estas circulares son enviadas en calidad de prueba de mercado a una nueva área geográfica. Partiendo del hecho de que la tasa de respuesta del 10% es aplicable a la nueva área, determinar las probabilidades de los siguientes eventos con el uso de las tablas de probabilidades binomiales:

a) Nadie responde

b) Exactamente dos personas responden

c) La mayoría de la gente responde

d) Menos de 20% de la gente responde.
Solución
Problema 3
Se puede decir que la formula binomial comprende dos partes: una se forma de combinaciones para determinar el número de maneras diferentes en las que puede ocurrir el evento establecido y la regla de la multiplicación para determinar la probabilidad de cada secuencia. Supongamos que se seleccionan aleatoriamente tres artículos de un proceso del que se sabe que produce 10% de artículos defectuosos. Elaborar un diagrama de árbol de tres pasos que describa la selección de los tres artículos empleando D para la selección de un artículo defectuoso y D´ para la selección de un artículo no defectuoso. Así mismo, introducir en el diagrama los valores de probabilidad apropiados y utilice la regla de la multiplicación para eventos independientes para determinar la probabilidad de cada posible secuencia de ocurrencia de tres eventos.
Primer
artículo
Segundo
artículo
Tercer
artículo
Probabilidad de
cada secuencia
Solución
Problema 4
Si una moneda equilibrada es lanzada 5 veces, la distribución de probabilidad con respecto al número de caras observadas se basa en la distribución binomial, con n = 5 y p = 0.50. Determine:

a) El numero esperado de caras

b) La desviación estándar del numero de caras con el uso de las formulas generales de variables aleatorias discretas.
Solución
Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo de cada elemento muestreado tomado de una población finita de elementos, no se aplica el proceso de Bernoulli, porque cuando se eliminan elementos de la población existe un cambio sistemático en la población de éxito. Cuando en una situación, que de otro modo correspondería a un proceso de Bernoulli, se hace uso del muestreo sin remplazo, la distribución de probabilidad discreta adecuada es la distribución hipergeométrica.
Conociendo que X es el número establecido de éxitos, N el número total de elementos de la población, T el número total de éxitos incluidos en la población y n el número de elementos de la muestra, la formula para determinar probabilidades hipergeométricas es:
Ejemplo
De seis empleados, tres han permanecido en la compañía por cinco o más años. Si de este grupo de seis se elige aleatoriamente a cuatro empleados, la probabilidad de que exactamente 2 de ellos tengan una antigüedad de cinco o más años es:
La distribución de Poisson puede usarse para determinar la probabilidad de ocurrencia de un número establecido de eventos cuando estos ocurren en un continuum temporal o espacial. Este proceso se llama proceso de Poisson; aunque semejante al proceso de Bernoulli, se distingue de él en que los eventos ocurren a lo largo de un continuum (durante un intervalo temporal, por ejemplo) y en que no se dan ensayos propiamente dichos. Un ejemplo de un proceso de este tipo seria la recepción de llamadas telefónicas en un conmutador. Como en el caso del proceso de Bernoulli, se supone que los eventos son independientes y el proceso estacionario.

Para determinar la probabilidad de ocurrencia de un número establecido de eventos en un proceso de Poisson sólo se requiere de un valor: el número medio de eventos a largo plazo en la dimensión temporal o espacial especifica de interés. Por lo general esta media se representa como λ (lambda griega), o en ocasiones como μ. La formula para determinar la probabilidad de un número establecido de éxitos X en una distribución de Poisson es:
Ejercicio 1
Un gerente selecciona aleatoriamente a n = 3 individuos de un grupo de 10 empleados de un departamento para la formación de un equipo asignado a un proyecto. Suponiendo que 4 de los empleados fueron asignados anteriormente a un proyecto similar, elaborar u diagrama de árbol de tres pasos que describa la selección de los tres individuos en términos de si cada individuo elegido ha tenido experiencia E o no ha tenido experiencia previa E´ en proyectos de esta naturaleza. Además, introducir en le diagrama los valores de probabilidad adecuados y use la regla de la multiplicación para eventos dependientes para determinar la probabilidad de cada posible secuencia de ocurrencia de tres eventos.
Solución
Primera
elección
Segunda
elección
Tercera
elección
Probabilidad de cada consecuencia
Ejercicio 2
En referencia al problema anterior, determinar la probabilidad de que exactamente dos de los tres empleados hayan tenido experiencia previa usando la fórmula para determinar probabilidades hipergeométricas.
Solución
Ejemplo 1
En un departamento de reparación de maquinaria se recibe un promedio de 5 llamadas de servicio por hora. La probabilidad de que en una hora aleatoriamente seleccionada se reciban exactamente tres llamadas de servicio es:
Se avisa que en este ejemplo el valor de probabilidad requerido se calculo determinado el número de diferentes combinaciones que incluirían a dos empleados de mucha antigüedad y dos empleados de poca antigüedad como razón del número total de combinaciones de 4 empleados tomadas a partir de los 6. Así, la formula hipergeométrica es una aplicación directa de las reglas del análisis combinatorio.

Cuando la población es grande y la muestra relativamente pequeña, el hecho de que el muestreo se realice sin remplazo tiene escaso efecto en la población de éxito de cada ensayo. Por regla general, cuando n < 0.05 N puede usarse una probabilidad binomial como aproximación de un valor de probabilidad hipergeométrica. Esto es, el tamaño de la muestra debe ser menor al 5% del tamaño de la población. En otros textos se usan reglas un tanto diferentes para determinar los casos en los que esta aproximación es adecuada.
Ejemplo 2
Si en un departamento de reparación de maquinaria se recibe un promedio de 5 llamadas de servicio por hora, la probabilidad de que durante una hora aleatoriamente elegida se reciban menos de tres llamadas se determina de la siguiente manera:
Donde
En una tienda de telas, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas a un decorador. La probabilidad de que tres o más personas se acerquen al decorador para hacerle preguntas en un periodo de 10 minutos (1/6 de una hora) se determina en la siguiente forma:
Ejemplo 3
Promedio por hora = 12
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Un promedio de cinco personas por hora realizan transacciones en una ventanilla de servicios especiales de un banco comercial. Suponiendo que el arribo de esas personas tiene una distribución independientemente y es igualmente probable a lo largo del periodo de interés, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas deseen realizar transacciones en la ventanilla de servicios especiales durante una hora en particular?
Solución
Un promedio de un barco llega a cierto muelle uno de cada dos días. ¿Cuál es la probabilidad de que dos ó más barcos lleguen a este punto en un día aleatoriamente seleccionado?
Solución
Cada rollo de 500 pies de acero laminado incluye dos fallas, en promedio. Una falla es un rasguño o desperfecto que afectaría el uso de este segmento laminado en el producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que un segmento de 100 pies en particular no incluya fallas?
Solución
Si el promedio por rollo de 500 pies = 2.0, entonces λ = Promedio por rollo de 100 pies = 2.0 × (100/500) = 0.40. Así, con base en la tabla de probabilidades de Poisson.
Dado que el promedio por dos días = 1.0, entonces λ = promedio por día = 1.0 × (1/2) = 0.5. Sustituyendo de la tabla de probabilidades de Poisson.
Una compañía de seguros considera la adición de cobertura de gastos médicos mayores para un padecimiento relativamente raro. La probabilidad de que un individuo aleatoriamente seleccionado tenga ese padecimiento es de 0.001, y el grupo asegurado se compone de 3000 individuos.

a) ¿Cuál es el número esperado de personas que tendrán el padecimiento en el grupo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 3000 personas de este grupo presente el padecimiento?
a) La distribución del numero de personas que tendrán el padecimiento seguiría la distribución de probabilidad binomial con n = 3000 y p = 0.001.
Solución
Solución
b) No se dispone de probabilidades binomiales tabuladas para n = 3000 y p = 0.001. asimismo, la solución algebraica de la fórmula binomial no resulta atractiva, a causa de los grandes números implicados. Sin embargo, podemos usar la distribución de Poisson para aproximar la distribución binomial; porque n ≥ 30 y np < 5. En consecuencia:
Distribución de Probabilidad para Variables Aleatorias Continuas
A diferencia de una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria continua puede adoptar cualquier valor fraccionario dentro de un rango definido de valores. Dado que existe un número infinito de medidas fraccionarias posibles, no se pueden enlistar todos los posibles valores con su probabilidad correspondiente. Se define por lo tanto una función de densidad de probabilidad. Esta expresión matemática ofrece la función de X, representada por el símbolo f(x), para cualquier valor establecido de la variable aleatoria X. la representación grafica de esta función se llama curva de probabilidad, y el área entre dos puntos cualesquiera bajo la curva indica la probabilidad de ocurrencia aleatoria de un valor entre esos dos puntos.
La distribución normal de probabilidad es una distribución de probabilidad continua tanto simétrica como mesocúrtica. La curva de probabilidad que representa a la distribución normal de probabilidad tiene forma de campana, como lo ejemplifica la curva de probabilidad de la siguiente figura:
Como sucede en todas las distribuciones continuas de probabilidad, un valor de probabilidad de una variable aleatoria continua solo puede determinarse por un intervalo de valores. La altura de la función de densidad, o curva de probabilidad, de una variable con distribución normal esta dada por:
Donde π es la constante 3.1416, e la constante 2.7183, μ la media de la distribución y σ la desviación estándar de la distribución. Puesto que toda diferente combinación de μ y σ generaría una distribución normal de probabilidad diferente (aunque siempre simétrica y mesocúrtica), las tablas de probabilidad normales se basan en una distribución en particular: la distribución normal estándar. Esta es la distribución normal de probabilidad con μ=0 y σ=1. Todo valor de X procedente de una población con distribución normal puede convertirse en el equivalente valor normal estándar de z mediante la formula:
Ejemplos
Se sabe que el ciclo de vida de un componente eléctrico sigue una distribución normal con una media μ=2000 horas y una desviación estándar σ=200 horas. La probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure entre 2000 y 2400 horas se determina de la siguiente manera.
En la siguiente figura aparece la curva de probabilidad (función de densidad) de este problema, la cual indica la relación entre la escala de horas X y la escala normal estándar z. Además, el área bajo la curva correspondiente al intervalo “2000 a 2400” ha sido sombreada.
Ejemplo 2
El limite inferir del intervalo se encuentra en la media de la distribución, y coincide por lo tanto con el valor z=0. El límite superior del intervalo establecido en términos de un valor z es:
El valor z=±2.0 indica que 2400 horas se halla por encima de la media de 2000 horas en dos desviaciones estándar, determinamos que:
Ejemplo 1
Ejemplo 3
En la distribución continua de probabilidad de la siguiente figura, la probabilidad de que un embarque aleatoriamente seleccionado tenga un peso neto de entre 6000 y 8000 libras es igual a la proporción del área total bajo la curva incluida en el área sombreada. Esto es, el área total bajo la función de densidad de probabilidad se define como igual a 1, y la proporción de esta área incluida entre los dos puntos establecidos puede determinarse aplicando el método de integración junto con la función de densidad de probabilidad matemática de esta curva de probabilidad.
En relación con lo componentes eléctricos descritos en el ejemplo 2, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure más de 2200 horas.
Adviértase que, por definición, la proporción total del área a la derecha de la media de 2000 en la siguiente figura es de 0.5000. Por consiguiente, si determinamos la proporción entre la media y 2200, podemos restar este valor de 0.5000 para obtener la probabilidad de las horas X superiores a 2200, la que aparece sombreada en la siguiente figura:
Así, 2200 horas se encuentra a una desviación estándar por encima de al media de 2000 horas.
Por lo tanto:
Ejercicios
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
El proceso de empaque de una compañía productora de cereales para el desayuno ha sido ajustado para que cada paquete contenga un promedio de μ=13.0 onzas de cereal. Por supuesto que no todos los paquetes contienen exactamente 13.0 oz, a causas de fuentes aleatorias de variabilidad. La desviación estándar del peso neto real es σ=0.1 oz, y se sabe que la distribución de pesos sigue la distribución normal de probabilidad. Determine la probabilidad de que un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13.0 y 13.2 oz de cereal e ilustre la proporción del área bajo la curva asociada con este valor de probabilidad.
Solución
Respecto a la situación descrita en el ejemplo 1, ¿Cuál es la probabilidad de que el peso del cereal exceda de 13.25 onzas? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal relevante en este caso.
Solución
En relación con el ejemplo 1, ¿Cuál es la probabilidad de que el peso del cereal se halle entre 12.9 13.1 onzas? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal relevante en este caso.
Solución
Nota: ésta es la proporción del área -1.0z a μ más la proporción de μ a +1.0z. Considérese también en que, dado que la distribución normal de probabilidad es simétrica, las áreas a la izquierda de la media para valores z negativos son equivalentes a las áreas a la derecha de la media.
¿Cuál es la probabilidad de que el peso del cereal del ejemplo 1 se halle entre 12.8 y 13.1 onzas? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal relevante en este caso.
Solución
En relación con el ejemplo 1, ¿Cuál es la probabilidad de que el peso del cereal se halle entre 13.1 y 13.2 onzas? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal relevante en este caso.
Solución
Nota: La probabilidad es igual a la proporción del área de 13.0 a 13.2 menos la proporción del área de 13.0 a 13.1.
La cantidad de tiempo requerida para el servicio rutinario a la transmisión de un automóvil tiene una distribución normal con la media μ=45 minutos y la desviación estándar σ=8.0 min. El gerente del servicio planea el inicio de labores en la transmisión del auto de un cliente 10 minutos después de la recepción del vehículo, mientras que al cliente se le dice que su auto estará listo en 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente del servicio este equivocado? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal relevante en este caso.
Solución
P(equivocado) = P (X > 50), ya que las labores en si comienzan en 10 minutos
Se recordara que, el punto percentil de una distribución es aquel bajo el cual se halla 90% de los valores y sobre el cual se encuentran 10% restantes de los valores. En l distribución normal estándar, éste es el valor de z para el cual la proporción total del área a la izquierda de este valor bajo la curva normal es de 0.90.
Ejemplos
Ejemplo 1
En la siguiente figura se ilustra la posición del 900., punto percentil de la distribución normal estándar, para determinar el valor requerido de z, determinaremos que en este caso se sabe que el área bajo la curva entre la media y el punto de interés es de 0.40 y lo que se desea es buscar el valor asociado de z. identificando el valor mas cercano a 0.4000 en el cuerpo de la tabla; este es 0.3997. De acuerdo con los encabezados de línea y columna, el valor de z asociado con esta área es 1.28, y por lo tanto z_0.90=+1.28. El signo es positivo porque el 900., punto percentil es mayor que la media, y en consecuencia el valor de z se halla por encima de su media de 0.
NOTA:
Dado el procedimiento del ejemplo anterior para determinar un punto percentil en la distribución normal estándar, un punto percentil de una variable aleatoria con distribución normal puede determinarse resolviendo para X (en lugar de z) en la formula; lo que resulta:
Ejemplo 2
En relación con el ciclo de vida del componente eléctrico mencionado en los ejemplos 2 y 3, y empleando la solución del ejemplo 4, el 900 punto percentil del ciclo de vida del componente es:
Ejemplo 3
Continuando con el ejemplo 5, supongamos que nos interesa determinar el ciclo de vida del componente de tal manera que solo 10% de los componentes falle antes de ese momento (100 punto percentil). Obsérvese en la siguiente figura para el área asociada de la distribución normal de probabilidad estándar. Tal como se hizo en el ejemplo 4, en el cuerpo de la tabla buscamos el área más cercana a 0.4000, aunque en este caso el valor de z se considera negativo.
La solución es:
Ejercicios
Ejercicio 1
En referencia al ejemplo 6 de la Distribución Normal de Probabilidad, ¿Cuál seria la asignación de tiempo laboral requerido a fin de que haya un 75% de probabilidades de que el servicio de transmisión se lleve a cabo en ese tiempo? Ilustre la proporción del área relevante.
Ejemplo 2
Al igual que el ejemplo anterior, tomaremos de referencia al ejemplo 6 de la Distribución Normal de Probabilidad, ¿Cuál seria la asignación de tiempo laboral a fin de que haya una probabilidad de solo 30% de que el servicio de transmisión se lleve cabo en ese tiempo? Ilustre la proporción del área relevante.
Aproximación Normal de
Probabilidades Binomiales
Cuando el número de observaciones o ensayos n es relativamente grande, la distribución de probabilidad normal puede servir para aproximar probabilidades binomiales. Una regla conveniente es que tal aproximación resulta aceptable cuando n≥30 y tanto n p como nq≥5. Combinada con la regla formulada para la aproximación de Poisson de probabilidades binomiales, esta regla significa que siempre que n≥30 las probabilidades binomiales pueden aproximarse mediante ya sea la distribución Normal o la de Poisson, dependiendo de los valores de n p y n q.
Cuando la distribución de probabilidad normal se usa como base para aproximar un valor de probabilidad binomial, la media y desviación estándar se basan en el valor esperado y en la varianza del numero de éxitos de la distribución binomial. Determinando que el número medio de éxitos es:
La desviación estándar del número de éxitos es:
Ejemplo
En relación con un número extenso de prospectos de venta, se ha observado que el 20% de los contactados personalmente por un representante de ventas realizarán una compra. Si un representante de ventas contacta a 30 prospectos, podemos determinar la probabilidad de que 10 o más realicen una compra en referencia a las probabilidades binomiales.
Hagamos ahora una comprobación para determinar si se satisfacen los criterios de la aproximación normal:
La aproximación normal del valor de probabilidad binomial es:
Nota: Esto incluye la corrección por continuidad, que será explicada enseguida.
La aproximación normal
En el ejemplo 7 se parte del supuesto de que la clase de eventos “10 o más” comienza en 9.5 al aplicar la aproximación normal. Este ajuste de media unidad se llama corrección por continuidad. Es indispensable porque la totalidad del área bajo la distribución normal continua tiene que corresponder a algún evento numérico aunque sea posible un número fraccionario de éxitos, entre “9 compradores” y “10 compradores”, por ejemplo. Para decirlo de otra manera, en el proceso de la aproximación normal un evento discreto como “10 compradores” tiene que ser considerado como un intervalo continúo de valores desde un límite inferior exacto de 9.5 hasta un límite superior exacto de 10.5. Por lo tanto, si en el ejemplo 7 se hubiera pedido la probabilidad de “más de 10 compradores”, la corrección por continuidad correspondiente habría implicado la adición de 0.5 a 10, y la determinación del área del intervalo se habría iniciado en 10.5. De acuerdo con la argumentación anterior, el 0.5 se suma o resta como corrección por continuidad según la forma del enunciado de probabilidad:
1) Reste 0.5 de X cuando se requiera
2) Reste 0.5 de X cuando se requiera
3) Sume 0.5 a X cuando se requiera
4) Sume 0.5 a X cuando se requiera
Aproximación Normal de Probabilidad de Poisson
Cuando la media λ de una distribución de Poisson es relativamente grande, la distribución normal de probabilidad puede servir para aproximar probabilidades de Poisson. Una regla conveniente es que esta aproximación es estable cuando λ ≥ 10.0.
La media y desviación estándar de la distribución normal de probabilidad se basan en el valor esperado y en la varianza del numero de eventos en un proceso de Poisson. Esta media es:
La desviación estándar es:
Ejemplo
El número promedio de llamadas de servicio recibidas por un departamento de reparación de maquinaria por turno de 8 horas es de 10.0. Podemos determinar la probabilidad de que durante un turno de 8 horas aleatoriamente seleccionado se recibirán más de 15 llamadas usando la tabla de probabilidades de Poisson.
La probabilidad de Poisson exacta
Puesto que el valor de λ es de (al menos) 10, la aproximación normal del valor de probabilidad de Poisson es aceptable en este caso. La aproximación normal del valor de probabilidad de Poisson es:
Nota: esto incluye la corrección por continuidad, que se explicara enseguida
La corrección por continuidad aplicada en el ejemplo 8 es el mismo tipo de corrección descrita es el mismo tipo de corrección descrita en la aproximación normal de probabilidades binomiales. Las reglas en cuanto a suma y resta de 0.5 respecto de X se aplican por igual a la situación en la que la distribución normal de probabilidad se emplea para aproximar probabilidades de Poisson.
La aproximación normal
Ejercicios
Ejercicio 1
Se sabe que 70% de las personas que acuden a un importante centro comercial realizan al menos una compra. En una muestra de n=50 individuos, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 40 personas realicen una ó más compras cada una?
Solución
La aproximación normal del valor de probabilidad binomial requerido puede usarse en este caso, porque n ≥ 30, n p ≥ 5 y n (q) ≥ 5.
Nota: Se ha incluido ya la corrección por continuidad.
Ejercicio 2
En relación con la situación descrita en el ejemplo 9, ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 de los 50 individuos muestreados realicen al menos una compra?
Solución
Dado que, con base en el problema 9, μ=35.0 y σ=3.24,
Nota: Se ha incluido ya la corrección por continuidad.
Ejercicio 3
Se sabe que las llamadas de servicio llegan aleatoriamente y en calidad de proceso estacionario a un promedio de cinco horas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que durante un turno de 8 horas se reciban más de 50 llamadas de servicio?.
Solución
Puesto que la media del periodo de 8 horas de este proceso de Poisson excede de λ = 10 (λ=8×5=40), puede usarse la distribución normal de probabilidad para aproximar el valor de probabilidad de Poisson. Con μ=λ=40.0 y σ=√λ=√40.0=6.32,Puesto que la media del periodo de 8 horas de este proceso de Poisson excede de λ = 10 (λ=8×5=40), puede usarse la distribución normal de probabilidad para aproximar el valor de probabilidad de Poisson. Con μ=λ=40.0 y σ=√λ=√40.0=6.32,
Nota: Se ha incluido ya la corrección por continuidad.
Ejercicio 4
En referencia al problema 11, ¿Cuál es la probabilidad de que durante un turno de 8 horas se reciban 35 ó menos llamadas de servicio?
Solución
Dado que μ=40.0 y σ=6.32,
Nota: Se ha incluido ya la corrección por continuidad.
Solución
Como lo ilustra la siguiente figura, una proporción de área de 0.2500 se halla incluida entre la media y el 750 punto percentil.
De este modo, como primer paso para la solución determinamos el valor z requerido identificando en el cuerpo de la tabla de proporciones de área para la distribución normal estándar el área mas cercana a 0.2500. El área mas cercana es 0.2486, con z0.75 =+0.67. Convertimos ahora este valor de z en el valor requerido de X de la siguiente manera.
Puesto que a la izquierda del valor desconocido de X en la siguiente figura se halla una proporción de área de 0.30, de ello se deduce que una proporción de 0.20 se encuentra entre ese punto percentil y la media. En referencia a las tablas de proporciones de área para la distribución normal estándar; la proporción de área más cercana a esta es 0.1985, con z0.30=-0.52. El valor z es negativo porque el punto percentil está a la izquierda de la media. Finalmente, el valor z se convierte al valor requerido de X:
Solución
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