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Introducción a la Probabilidad

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by

Esteban Sánchez Gómez

on 8 November 2015

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Transcript of Introducción a la Probabilidad

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
APLICACIONES
EXPERIMENTOS, REGLAS DE CONTEO Y ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
ALGUNAS RELACIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD CONDICIONAL
TEOREMA DE BAYES
LA PROBABILIDAD
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento.
EXPERIMENTO
En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación se dan varios ejemplos de experimentos con sus correspondientes resultados.
ESPACIO MUESTRAL
Al especificar todos los resultados experimentales posibles, está definiendo el espacio muestral de un experimento. Así, el espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados experimentales.
Considere los experimentos presentados en la tabla anterior. Si denota con S el espacio muestral, puede emplear la notación siguiente para describir el espacio muestral.

S = {Cara, cruz }

S = {Defectuosa, no defectuosa}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
REGLAS DE CONTEO
Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales. A continuación tres reglas de conteo que son muy utilizadas.

Experimentos de pasos múltiples;

Combinaciones;

Permutaciones.
EXPERIMENTOS DE PASOS MÚLTIPLES
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples.
EJERCICIO #4
1. Un experimento consta de tres pasos; para el primer paso hay tres resultados posibles, para el segundo hay dos resultados posibles y para el tercer paso hay dos resultados posibles.
a.¿Cuántos resultados distintos hay para el experimento completo?
b. Elabore un diagrama de árbol de este experimento.

2. Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces.
a. Elabore un diagrama de árbol de este experimento.
b. Enumere los resultados del experimento.
c. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados?
COMBINACIONES
A los resultados experimentales también se les llama puntos muestrales.
Si considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la sucesión de lanzar primero una moneda y después lanzar la otra, siguiendo la regla de conteo (2)*(2) = 4, entonces hay cuatro resultados distintos. El número de resultados experimentales de seis monedas es (2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 64.
EJEMPLO DE COMBINACIONES
Como ejemplo del uso de la regla de conteo para combinaciones, considere un procedimiento de control de calidad en el que un inspector selecciona al azar dos de cinco piezas para probar que no tengan defectos. ¿Cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse? De acuerdo con la regla de conteo es claro que con
N
= 5 y
n
= 2 se tiene
PERMUTACIONES
El número de permutaciones de
N
objetos tomados de
n
en
n
está dado por:
EJEMPLO DE PERMUTACIONES
Para ver un ejemplo, reconsidere el proceso de control de calidad en el que un inspector selecciona dos de cinco piezas para probar que no tienen defectos. ¿Cuántas permutaciones puede seleccionar? La ecuación anterior indica que si N = 5 y n = 2, se tiene
EJERCICIO #6
1. ¿Cuántas combinaciones de tres objetos se pueden seleccionar de un conjunto de seis objetos?

2. ¿Cuántas permutaciones de tres objetos se pueden seleccionar de un grupo de seis objetos?

3. ¿Cuántas combinaciones de dos objetos se pueden seleccionar de un conjunto de ocho objetos?

4. ¿Cuántas permutaciones de dos objetos se pueden seleccionar de un grupo de ocho objetos?
La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120. Cuando se hace un muestreo de una población finita de tamaño
N
, la regla de conteo para combinaciones sirve para hallar el número de muestras de tamaño
n
que pueden seleccionarse.
El número de combinaciones de
N
objetos tomados de
n
en
n
es:
donde:
y por definición: 0! = 1
De manera que hay 10 resultados posibles. Si etiqueta dichas partes como A, B, C, D y E, las 10 combinaciones o resultados experimentales serán AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE.
La regla de conteo para permutaciones tiene relación estrecha con la de combinaciones; sin embargo, con el mismo número de objetos, el número de permutaciones que se obtiene en un experimento es mayor que el número de combinaciones, ya que cada selección de n objetos se ordena de n! maneras diferentes.
Así, teniendo en cuenta el orden en que se seleccionen las piezas, tiene 20 resultados. Si las piezas se etiquetan A, B, C, D y E, las 20 permutaciones son AB, BA, AC, CA, AD, DA, AE, EA, BC, CB, BD, DB, BE, EB, CD, DC, CE, EC, DE y ED.
ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
Un evento es una colección de puntos muestrales. La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales que forman el evento. Es necesario satisfacer los siguientes requerimientos básicos para la asignación de probabilidades:
EJERCICIO #2
Una compañía grande que debe contratar un nuevo presidente prepara una lista final de cinco candidatos, todos con las mismas cualidades. Dos de ellos son miembros de un grupo minoritario. Para evitar que el prejuicio influya en el momento de elegir al presidente, la compañía decide elegirlo por sorteo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los candidatos que pertenece a un grupo minoritario sea contratado?
b) ¿Qué concepto de probabilidad utilizó para hacer este cálculo?
EJERCICIO #3
Una encuesta de 34 estudiantes en la universidad mostró que éstos tienen las siguientes especialidades:
Suponga que elige a un estudiante y observa su especialidad.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga una especialidad en Administración? ¿En Finanzas?
b) ¿Qué concepto de probabilidad utilizó para hacer este cálculo?
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
Dado un evento
A
, el complemento de
A
se define como el evento que consta de todos los puntos muestrales que no están en
A
. El complemento de
A
se denota . En cualquier aplicación de la probabilidad ocurre un evento
A
o su complemento . Por tanto,
DIAGRAMA DE VENN
Al diagrama de la figura adjunta se le llama diagrama de Venn e ilustra el concepto del complemento.
UNIÓN DE DOS EVENTOS
La unión de
A
y
B
es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a
A
o a
B
o a ambos. La unión se denota
A U B
.
INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS
Dados dos eventos
A
y
B
, la intersección de
A
y
B
es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen tanto a
A
como a
B
.
LEY DE LA ADICIÓN
La ley de la adición sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Es decir, si
A
y
B
son eventos, nos interesa hallar la probabilidad de que ocurra el evento
A
o el
B
o ambos. Para eventos mutuamente excluyentes, la ley de la adición se expresa:
¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar de una baraja convencional sea rey o corazón?
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común, de manera que cuando un evento ocurre, el otro no puede ocurrir. Por tanto, para que A y B sean mutuamente excluyentes, se requiere que su intersección no contenga ningún punto muestral.
EJERCICIO #11
Los datos sobre los 30 principales fondos de inversión proporcionan los rendimientos anuales y en un periodo de 5 años. Suponga que considera altos un rendimiento anual arriba de 10% y un rendimiento a cinco años arriba de 60%. Nueve de los fondos tienen un rendimiento anual arriba de 10%, siete de los fondos a cinco años lo tienen arriba de 60% y cinco de los fondos tienen tanto un rendimiento anual arriba de 10% como un rendimiento a cinco años arriba de 60%.

a. ¿Cuál es la probabilidad de un rendimiento anual alto? ¿Cuál es la probabilidad de un rendimiento alto a cinco años alto?
b. ¿Cuál es la probabilidad de ambos, un rendimiento anual alto y un rendimiento alto a cinco años alto?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya un rendimiento anual alto ni un rendimiento a cinco años alto?
EJERCICIO #12
EJERCICIO #10
La ecuación anterior indica que la probabilidad de un evento A se puede calcular si se conoce la probabilidad de su complemento,
El diagrama de Venn adjunto representa la unión de los eventos
A
y
B
. El que los círculos se traslapen indica que algunos puntos muestrales están contenidos tanto en
A
como en
B
.
El diagrama de Venn ilustra la intersección de los eventos
A
y
B
. El área donde los círculos se sobreponen es la intersección que contiene una muestra de los puntos que están tanto en
A
como en
B
.
El área rectangular representa el espacio muestral. El círculo representa el evento
A
y encierra sólo los puntos muestrales que pertenecen a
A
. La región restante del rectángulo incluye todos los puntos muestrales que no están en el evento
A
y es, por definición, el complemento de
A
.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
EJEMPLO PROBABILIDAD CONDICIONAL
Considere el caso de las promociones de los agentes de policía de una determinada ciudad. La fuerza policiaca consta de 1200 agentes, 960 hombres y 240 mujeres. De éstos, en los últimos dos años, fueron promovidos 340. En la tabla adjunta se muestra cómo quedaron repartidas estas promociones entre los hombres y mujeres.
EJEMPLO PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea:
EJEMPLO PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ahora empiece con el análisis de la probabilidad condicional calculando la probabilidad de que un agente de policía sea promovido dado que ese agente sea hombre. Así, la probabilidad condicional
P
(
A
|
M
) se calcula:
EJERCICIO #19
Una muestra de estudiantes de la carrera en administración de negocios, arrojó la siguiente información sobre la principal razón que tuvieron los estudiantes para elegir la escuela en donde hacen sus estudios.
EJERCICIO #21
La tabla siguiente muestra las probabilidades de los distintos tipos sanguíneo en la población.
Con frecuencia, en la probabilidad de un evento influye el hecho de que un evento relacionado con él ya haya ocurrido. Suponga que tiene un evento
A
cuya probabilidad es
P(A)
. Si obtiene información nueva y sabe que un evento relacionado con él, denotado por
B
, ya ha ocurrido, deseará aprovechar esta información y volver a calcular la probabilidad del evento
A
.
A
esta nueva probabilidad del evento
A
se le conoce como probabilidad condicional y se expresa
P(A
|
B)
, y se lee “la probabilidad de
A
dado
B
”.
Después de analizar el registro de las promociones, un comité femenil protestó, ya que habían sido promovidos 288 agentes hombres, frente a sólo 36 mujeres.
Los directivos de la fuerza policiaca argumentaron que el número de mujeres promovidas no se debía a una discriminación, sino a que el número de mujeres que son agentes de policía es una cantidad pequeña. Ahora verá cómo emplear la probabilidad condicional para analizar esta acusación de discriminación.
La probabilidad conjunta es la probabilidad de que dos eventos ocurran al mismo tiempo; es decir, la probabilidad de la intersección de dos eventos. A la tabla adjunta, que proporciona la información de las probabilidades de promoción de los agentes de policía, se le conoce como tabla de probabilidades conjuntas.
Probabilidad marginal son los valores en los márgenes de una tabla de probabilidad conjunta que dan las probabilidades de cada evento por separado.
Ahora use los valores de probabilidad de la tabla de probabilidades conjuntas y la ecuación de probabilidad condicional para calcular la probabilidad de que un agente de la policía sea promovido dado que es mujer; es decir,
P
(
A
|
W
).
a. Con estos datos elabore una tabla de probabilidad conjunta.
b. Si es un estudiante de tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la principal razón para su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela?
c. Si es un estudiante de medio tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que la principal razón para su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela?
d. Si la principal razón para su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiate de medio tiempo?
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O?
b. ¿De que tenga sangre Rh-?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea Rh- dado que la persona tiene sangre tipo O?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo B dado que es Rh+?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio los dos sean Rh-?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que tres personas elegidas al azar tengan sangre tipo A?
TEOREMA DE BAYES
En el estudio de la probabilidad condicional vio que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades. Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan. Después, de otras fuentes, se obtiene más información sobre estos eventos y se modifican o revisan los valores de probabilidad mediante el cálculo de probabilidades revisadas a las que se les conoce como probabilidades posteriores. El teorema de Bayes es un medio para calcular estas probabilidades.
TEOREMA DE BAYES
El teorema de Bayes es aplicable cuando los eventos para los que se quiere calcular la probabilidad revisada son mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio muestral.

En el caso de n eventos mutuamente excluyentes
A1
,
A2
, …,
An
, cuya unión sea todo el espacio muestral, el teorema de Bayes aplica para calcular cualquiera de las probabilidades posteriores
P
(
Ai
|
B
) como se muestra a continuación:
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES
Considere una fábrica que compra piezas de dos proveedores. Sea
A1
el evento la pieza proviene del proveedor 1 y
A2
el evento la pieza proviene del proveedor 2. De las piezas que compra la fábrica, 65% proviene del proveedor 1 y 35% restante proviene del proveedor 2. Por tanto, si toma una pieza aleatoriamente, le asignará las probabilidades previas
La calidad de las piezas compradas varía de acuerdo con el proveedor. Por experiencia, sabe que la calidad de los dos proveedores es como muestra la tabla adjunta. Si G denota el evento la pieza está buena y B denota el evento la pieza está mala, se tienen los siguientes valores de probabilidad condicional.
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES
El diagrama de árbol de la figura adjunta representa el proceso de recibir una pieza, de uno de los dos proveedores, y después determinar si la pieza es buena o mala como experimento de dos pasos.
Cada uno de los resultados experimentales es la intersección de dos eventos, de manera que para calcular estas probabilidades puede usar la ley de la multiplicación. Por ejemplo,
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES
El proceso del cálculo de estas probabilidades conjuntas se representa mediante un árbol de probabilidad. De izquierda a derecha por el árbol, las probabilidades de cada una de las ramas del paso 1 son probabilidades previas y las probabilidades de cada una de las ramas del paso 2 son probabilidades condicionales.
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES
Suponga ahora que una máquina se descompone al tratar de procesar una pieza mala. Dada la información de que la pieza está mala, ¿cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1 y cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2? Para responder estas preguntas, se tiene para el proveedor 1:
Y para el proveedor 2
MÉTODO TABULAR
Para realizar los cálculos del teorema de Bayes es útil emplear un método tabular. En la tabla adjunta se muestra este método aplicado al problema de las piezas de los proveedores.
EJERCICIO #23
EJERCICIO #25
Una compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que se tienen registrados, se sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de tres métodos son 0,75, 0,60 y 0,65, respectivamente. la compañía acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho

a) personalmente?
b) por teléfono?
c) por correo?
EJERCICIO #24
En los automóviles pequeños el rendimiento de la gasolina es mayor, pero no son tan seguros como los coches grandes. Suponga que la probabilidad de que un automóvil pequeño tenga un accidente es 0,18. La probabilidad de que en un accidente con un automóvil pequeño haya una víctima mortal es 0,128 y la probabilidad de que haya una víctima mortal si el automóvil no es pequeño es 0,05. Usted se entera de un accidente en el que hubo una víctima mortal.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente lo haya tenido un automóvil pequeño?
EJERCICIO #1
El capital de riesgo es una fuerte ayuda para los fondos disponibles de las empresas. De acuerdo con Venture Economics, del total de desembolsos, 1434 son de empresas en California, 390 de empresas en Massachussets, 217 de empresas en Nueva York y 112 de empresas en Colorado. El 22% de las empresas que reciben fondos se encuentran en las etapas iniciales de desarrollo y 55% en la etapa de expansión. Suponga que desea tomar en forma aleatoria una de estas empresas para saber cómo son usados los fondos de capital de riesgo.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa que seleccione sea de cada uno de los estados citados?
b. ¿De que la empresa elegida no se encuentre en las etapas iniciales de desarrollo?
c. Si admite que las empresas en las etapas iniciales de desarrollo tuvieran una distribución homogénea en todo el país, ¿cuántas empresas de Massachussets se encuentran en las etapas iniciales de desarrollo?
Para hallar la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales, simplemente se multiplican las probabilidades de las ramas que llevan a ese resultado.
EJERCICIO #2
1. Pioneer fabrica tres modelos de receptores estereofónicos, dos reproductores MP3, cuatro bocinas y tres carruseles de CD. Cuando se venden juntos, los cuatro tipos de componentes forman un sistema. ¿Cuántos diferentes sistemas puede ofrecer la empresa de electrónica?

2. Un encuestador seleccionó en forma aleatoria a 4 de 10 personas disponibles. ¿Cuántos diferentes grupos de 4 es posible formar?

3. Un encuestador nacional ha formulado 15 preguntas diseñadas para medir el desempeño del presidente de Estados Unidos. El encuestador seleccionará 10 de las preguntas. ¿Cuántas distribuciones de las 10 preguntas se pueden formar tomando en cuenta el orden?
EJERCICIO #6
Una empresa de inversiones de la capital, se anuncia ampliamente en El Financiero, el periódico que ofrece sus servicios en la región. El personal de marketing calcula que 60% del mercado potencial de la empresa leyó el periódico; calcula, además, que 85% de quienes lo leyeron recuerdan la publicidad.

a) ¿Qué porcentaje del mercado potencial de la compañía inversionista ve y recuerda el anuncio?
b) ¿Qué porcentaje del mercado potencial de la compañía inversionista ve, pero no recuerda el anuncio?
EJERCICIO #5
Usted hace un viaje aéreo que involucra tomar tres vuelos independientes. Si existe 80% de probabilidades de que cada etapa específica del viaje se realice a tiempo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres vuelos lleguen a tiempo?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres vuelos no lleguen a tiempo?
EJERCICIO #4
La Oficina de Censos cuenta con datos sobre la cantidad de adultos jóvenes, entre 18 y 24 años, que viven en casa de sus padres. Sea:

M = el evento adulto joven que vive en casa de sus padres
F = el evento adulta joven que vive en casa de sus padres

Si toma al azar un adulto joven y una adulta joven, los datos de dicha oficina permiten concluir que
P
(
M
) = 0,56 y
P
(
F
) = 0,42. La probabilidad de que ambos vivan en casa de sus padres es 0,24.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de dos adultos jóvenes seleccionados viva en casa de sus padres?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos adultos jóvenes seleccionados vivan en casa de sus padres?
EJERCICIO #7
La tabla siguiente presenta el número de hombres y mujeres (en millones) en cada una de las siguientes categorías ocupacionales.
a. Desarrolle una tabla de probabilidad conjunta.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador mujer sea directivo o profesional?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador hombre esté en producción con precisión?
d. ¿Es la ocupación independiente del género? Justifique su respuesta con el cálculo de la probabilidad.
EJERCICIO #3
En una encuesta aplicada a 70 suscriptores de una revista se encontró que en los últimos 12 meses 15 habían rentado un automóvil por razones de trabajo, 10 por razones personales y 3 por ambas razones.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses por razones de trabajo o por razones personales?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses ni por razones de trabajo ni por razones personales?
EJERCICIO #9
El departamento de crédito de una tenda por departamentos informó que 30% de las ventas se paga con efectivo; 30% con tarjeta de crédito, y 40% con tarjeta de débito. Veinte por ciento de las compras con efectivo o cheque, 90% de las compras con tarjeta de crédito y 60% de las compras con tarjeta de débito son por más de $50. Un cliente acaba de comprar un artículo que le costó $120.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado con tarjeta de crédito?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado con tarjeta de débito?
EJERCICIO #8
En un estudio realizado entre los nuevos estudiantes inscritos a las maestrías de negocios se obtuvieron los datos siguientes.
a. Elabore una tabla de probabilidad conjunta
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tomado en forma aleatoria tenga 23 años o menos? ¿Más de 26 años?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tomado en forma aleatoria haya hecho solicitud en varias universidades?
d. Dado que una persona hizo solicitudes en varias universidades, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 24 y 26 años?
e. Dado que una persona tiene 36 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que haya hecho solicitudes en varias universidades?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona entre 24 y 26 años no haya hecho solicitudes en varias universidades?
EJERCICIO #10
Horwege Electronics, Inc., compra tubos de televisión a cuatro proveedores. Tyson Wholesale proporciona 20% de los tubos; Fuji Importers 30%; Kirkpatricks 25%, y Parts, Inc. 25%. Tyson Wholesale normalmente tiene la mejor calidad, ya que sólo 3% de sus tubos llegan defectuosos. Cuatro por ciento de los tubos de Fuji Importers están defectuosos; 7% de los tubos de Kirkpatricks y 6.5% de los tubos de Parts, Inc., tienen defectos.

a) ¿Cuál es el porcentaje total de tubos defectuosos?
b) Un tubo de televisión defectuoso fue descubierto en el último envío. ¿Cuál es la probabilidad de que proviniera de cada uno de los proveedores?
EJERCICIO #5
Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados de cuatro caras. Suponga que lo relevante es la suma de los puntos en las dos caras que caen hacia arriba.

a. ¿Cuántos puntos muestrales habrá?
b. Elabore un diagrama de árbol y enumere los puntos muestrales.
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4? ¿Y un 8?
d. Como en cada lanzamiento son factibles tres valores pares (2, 4, y 6) y sólo dos impares (3 y 5), se tendrán más veces resultados pares que impares. ¿Está de acuerdo? Explique.
EJERCICIO #1
1. Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente posibles: E1, E2, E3, E4 y E5. Asigne probabilidades a los resultados y muestre que satisfacen los requerimientos de asignación de probabilidades.

2. Un experimento que tiene tres resultados es repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20 veces, E2 13 veces y E3 17 veces. Asigne probabilidades a los resultados. ¿Qué método empleó?
LEY DE LA ADICIÓN CON INTERSECCIÓN DE EVENTOS
Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. En estos casos, para calcular la probabilidad de que ocurra el evento
A
o el
B
la ley de la adición se expresa:
EJERCICIO #9
En la tabla siguiente se dan las edades de la población de un país. Los datos aparecen en millones de personas.
EJERCICIO #8
Considere el experimento de seleccionar un naipe de una baraja con 52 naipes.

a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un as o seleccionar un rey? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar alguna otra carta del naipe?

b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un as de trébol o un rey de trébol? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar alguna otra carta del naipe?
Suponga una selección aleatoria de una persona de esta población.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga entre 20 y 24 años ó entre 45 y 54?
b. ¿De que la persona tenga entre 20 y 34 años?
c. ¿De que tenga 45 años o más?
Un estudio llevado a cabo por el Ministerio de Turismo reveló que 50% de los vacacionistas que se dirigen a la región del Pacífico Norte del país visitan la Playa Tamarindo, 40% el Golfo de Papagayo y 35% ambos lugares.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vacacionista visite por lo menos una de estas atracciones?
b) ¿Los eventos son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un vacacionista no visite ninguna de estas dos atracciones?
Considere el caso de una pequeña empresa de ensamble en la que hay 50 empleados. Durante una evaluación del desempeño, el jefe de producción encuentra que 5 de los 50 trabajadores no terminaron su trabajo a tiempo, 6 ensamblaron mal una pieza y 2 no terminaron su trabajo a tiempo y armaron mal una pieza. Después de analizar los datos del desempeño, el jefe de producción decide dar una calificación baja al desempeño de los trabajadores que no terminaron a tiempo su trabajo o que armaron mal alguna pieza.

¿Cuál es la probabilidad de que el jefe de producción dé a un trabajador una calificación baja de desempeño?
De acuerdo con la fórmula:
Estos cálculos indican que la probabilidad es de 30,8%
EJEMPLO LEY DE LA ADICIÓN CON INTERSECCIÓN DE EVENTOS
REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN
La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos, A y B, sean independientes, y lo son si el hecho de que uno ocurra no altera la probabilidad de que el otro suceda. En el caso de dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que A y B ocurran se determina multiplicando las dos probabilidades, tal es la regla especial de la multiplicación, cuya expresión simbólica es la siguiente:
EJERCICIO #13
Una encuesta que llevó a cabo una Asociación Solidarista reveló que el año pasado 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas.

a) Si dos de ellos son seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado?

a) Si tres de ellos son seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hicieran reservaciones el año pasado?
EJERCICIO #14
Por experiencia, Teton Tire sabe que la probabilidad de que una llanta XB-70 rinda 60.000 millas antes de que quede lisa o falle es de 0,95. A cualquier llanta que no dure las 60.000 millas se le hacen arreglos. Usted adquiere cuatro llantas XB-70.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro llantas tengan una duración de 60.000 millas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las cuatro llantas tengan una duración de 60.000 millas?
EJERCICIO #17
La junta directiva de una empresa consta de cinco hombres y tres mujeres. Un comité de tres miembros será elegido al azar para llevar a cabo una búsqueda, en todo el país, del nuevo presidente de la compañía.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres miembros del comité de búsqueda sean mujeres?

b) ¿De que los tres miembros del comité de búsqueda sean hombres?
EJEMPLO REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN
Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf tres veces seguidas y no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres camisas elegidas sean blancas?
REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN
La regla general de la multiplicación sirve para determinar la probabilidad conjunta de dos eventos cuando éstos no son independientes. Por ejemplo, cuando el evento B ocurre después del evento A, y A influye en la probabilidad de que el evento B suceda, entonces A y B no son independientes. Así, la probabilidad conjunta de que ambos eventos ocurran se determina multiplicando la probabilidad de que ocurra el evento A por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ha ocurrido. Simbólicamente, la probabilidad conjunta, P(A y B), se calcula de la siguiente manera:
EJERCICIO #16
Una empresa de productos dentales envió por accidente tres cepillos dentales eléctricos defectuosos a una farmacia, además de 17 sin defectos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros dos cepillos eléctricos vendidos sean devueltos a la farmacia por estar defectuosos?

b) ¿De que los primeros dos cepillos eléctricos vendidos no estén defectuosos?
EJERCICIO #15
La primera carta de una baraja de 52 cartas es un rey.

a) Si lo regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey en la segunda selección?

b) Si no lo regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey en la segunda selección?

c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un rey en la primera carta que se toma de la baraja y otro rey en la segunda (suponiendo que el primer rey no fue reemplazado?
De esta manera, la probabilidad de seleccionar tres camisas sin reemplazo, todas las cuales sean blancas, es de 0,38.
Un fabricante de reproductores de DVD compra un microchip en particular, denominado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y Crawford Components. Treinta por ciento de los chips LS-24 se le compran a Hall Electronics; 20%, a Schuller Sales y el restante 50%, a Crawford Components. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los tres proveedores y sabe que 3% de los chips de Hall Electronics tiene defectos, 5% de los de Schuller Sales y 4% de los de Crawford Components. Un trabajador selecciona un chip para instalarlo en un reproductor de DVD y lo encuentra defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado Schuller Sales?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado Hall Electronics?
EJERCICIO #7
1. Una compañía de entregas rápidas debe incluir cinco ciudades en su ruta. ¿Cuántas diferentes rutas se pueden formar tomando en cuenta el orden de las ciudades?

2. Una representante de la Agencia de Protección Ambiental piensa seleccionar muestras de 6 terrenos. El director tiene 12 terrenos, de los cuales la representante puede recoger las muestras. ¿Cuántas diferentes muestras son posibles?
EJERCICIO #20
En una encuesta realizada para obtener información sobre la opinión respecto a las inversiones para el retiro se les preguntó a los hombres y mujeres interrogados qué tan importante les parecía que era el nivel de riesgo al elegir una inversión para el retiro. Con los datos obtenidos se elaboró la siguiente tabla de probabilidades conjuntas.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las mujeres interrogadas diga que es importante?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los hombres interrogados diga que es importante?
a. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los interrogados diga que es importante?
EJERCICIO #22
Una cuarta parte de los residentes de Burning Ridge Estates dejan las puertas de sus cocheras abiertas cuando salen de su hogar. El jefe de la policía de la localidad calcula que a 5% de las cocheras les robarán algo, pero sólo al 1% de las cocheras con puertas cerradas les robarán algo.

a) Si roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan dejado las puertas abiertas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan dejado las puertas cerradas?
OTRO EJEMPLO REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN
Considere el caso del departamento de circulación de un periódico al que 84% de los hogares de cierta región están suscritos a la edición diaria del periódico. Si D denota el evento un hogar suscrito a la edición diaria, P(D) = 0,84. Además, sabe que la probabilidad de que un hogar ya suscrito a la edición diaria se suscriba también a la edición dominical (evento S) es 75%; esto es, P(S | D) = 0,75. ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar se subscriba a ambas, a la edición diaria y a la dominical?
Así, sabe que 63% de los hogares se suscriben a ambas ediciones, a la diaria y a la dominical.
EJERCICIO #18
En un programa de empleados que realizan prácticas de gerencia en Claremont Enterprises, 80% de ellos son mujeres y 20% hombres. El 90% de las mujeres fue a la universidad, así como 78% de los hombres.

a) Al azar se elige a un empleado que realiza prácticas de gerencia. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer que no asistió a la universidad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea un hombre que sí asistió a la universidad?
c) ¿El género y la asistencia a la universidad son independientes? ¿Por qué?
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