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Regra dos Trapézios e Regra de Simpson

AN I FCUP Trabalho Prático nº4
by

Mário Marcelo Cardoso

on 5 June 2013

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Transcript of Regra dos Trapézios e Regra de Simpson

Input 1 Pretende-se calcular numericamente: Input 2 Regra de Simpson Output 1 Emanoel Souza
Marcelo Cardoso Trabalho Prático nº4 Programa 1 Usando a fórmula da Regra dos Trapézios: Programa 2 Usando a fórmula da Regra de Simpson: Regra dos Trapézios Usando o Geogebra, sabemos que o valor do integral é aproximadamente: e o valor aproximado do integral, obtivemos o nosso programa: através da Regra dos Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 2**k, k=1,...,10, sub-intervalos de igual amplitude e para cada k calcular o erro absoluto. 0.808394641192728
(este valor é preciso até à 15ª casa decimal) Note-se que à medida que o k aumenta, o erro vai diminuindo e a precisão com que são escritos os resultados vai aumentando. PYTHON 3.2.3 Análise Numérica I Licenciatura em Matemática Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 2012/2013 Pretende-se calcular numericamente: usando a regra de Simpson de tal forma que o erro absoluto seja inferior a 10**(-8). Para este efeito, precisaremos dum majorante do módulo da quarta derivada de f no intervalo [a,b]. Seja ele m. e a fórmula do majorante do erro: resolvendo em ordem a h e, seja n o número de partições de [a,b], considerando que h é igual a n/(b-a), obtivemos o número de sub-intervalos do intervalo de integração que garante o erro absoluto requerido. Como exemplo e auxílio para a conclusão, em baixo expomos o resultado do integral do exercício anterior calculado com a nossa implementação da Regra de Simpson. Output 2 A função argumento f é a do exercício 1 e g=sin(x). Ao calcular o integral de f, o programa foi alterado para dar não só o resultado, como também o número de sub-intervalos (aproximadamente a quantidade de operações) que este necessitou para cumprir a exigência do erro absoluto do input. É muito evidente que protocolos baseados na Regra de Simpson são muito mais rápidos do que na Regra dos Trapézios, sendo que para obter um erro aproximadamente igual a (10**(-7)), o nosso programa necessitou de 42 sub-intervalos versus 2**10=1024 do programa anterior.
Note-se também que o cálculo do número de subintervalos em função do majorante do erro desejado funciona bem e é de facto muito apertado. Isto é distintamente visível no cálculo de integral de g. No output demonstrado, o programa foi alterado para dar o resultado sem truncatura. O valor exacto do integral é 1. É notório que o número de zeros do resultado é dado exactamente pelo expoente do erro desejado. Agradecimentos e Bibliografia Estamos muito gratos à professora Maria João Rodrigues pela sua ajuda e paciência. http://www.wolframalpha.com
GeoGebra, http://www.geogebra.org/cms/
F. CORREIA SANTOS, Fundamentos de Análise Numérica, Sílabo
PINA H. – Métodos Numéricos, 1995
MARIA J. RODRIGUES, Slide das aulas teóricas, Análise Numérica – DM/FCUP – 2012/201 Grupo 16
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