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음악속의 수학

2013년 거제중학교 영재발표자료
by

수연 정

on 3 February 2014

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Transcript of 음악속의 수학

MUSIC MATH in "There is geometry in the humming of the strings,
there is music in the spacing of the spheres." - Pythagoras c. 500 B.C. 순정률 평균률 황금비율 순수하게 기본음으로부터
일정한 정수비에 의해서 모든 음의 주파수를 결정 순정율은 피타고라스의 방법으로 구할수 없다 이 두 음정의 차이 1/64을 ‘신토닉 콤마’라 부르는데, 이 차이는 무시하기에는 조금 큰 수준이었다. Batolome Ramos de Pareja 삼분손익법 주요삼화음 “도:미:솔, 파:라:도, 솔:시:레”의 주파수의 비례가
4:5:6이 되도록 조율한 8도음계로 이루어져 있는 것 9
0
c
m 3
0
c
m 황 임 요한 세바스티안 바흐(Johann Sebastian Bach) 평균율은 한 옥타브를 12개의 동일한 간격으로 나누는 것에서 시작한다 한 옥타브를 균등하게 12등분하려면 반음 간격을 12√2=1.05946…로 해야 하니,
꽤 정확한 편이고 현악기의 경우, 줄의 장력의 특성 때문에 나름 장점도 있다고 한다. 평균률은 모든 장조와 단조가 연주 가능한 실용적 음계를 이루며, 자유로운 조바꿈과 조옮김은 물론 자유로운 화음 진행을 원활하게 한다는 장점 때문에 현재까지 이용되고 있다. 그렇지만 이러한 미세한 차이에도 민감하거나, 평균율이 대두되기 전의 음악을 원전 연주하는 경우,
발달한 컴퓨터를 이용하여, 조옮김을 하더라도 순정률에 의해 소리를 내도록 해주는 신디사이저 등도 나와 있다. 피타고라스 음계 즉 ‘도’의 주파수에 를 곱하여 ‘솔’을 얻고,
‘솔’에 를 다시 곱하여 높은 ‘레’를 얻은 후에
2로 나누어 기본 음계에 있는 ‘레’를 얻는다.
다시 를 곱하면 ‘라’를 얻는다. P×2/3 if, P×3/2 > 2일땐 ÷2. 도 솔 도 1 2/3 1/2 1 3/2 2 단, 그 길이가 반보다 작으면 2배로 늘린다 P-P×2/3 단, 그 길이가 반이하로 작아지면 두 배로 늘린다 피타고라스 음계는 1, 2, 3에 의한 정수비로만 형성되었지만,
몇 개의 음을 제외하고는 모두 복잡한 정수비로 표현된다 1. 한 옥타브 사이에 모두 6개의 온음이 들어있으며,
도-레, 레-미등 각 온음사이의 주파수는 의 비율을 유지시키고 있다 2. 현의 길이를 1/2만큼 줄이면 한 옥타브가 높은 음을 낸다 3. 두 음의 주파수비는 현의 길이비의 역수관계에 있다 한 옥타브의 주파수비 2와 6개의 온음을
증가시킨 주파수비인 9/8의 6제곱이 같아야한다 '피타고라스 콤마' 사람들이 아주 편안하고 자연스럽게 느끼게 된다 그 이유는 1:2:3의 비율만 사용했던
피타고라스의 방법에는
분자가 5나 5의 배수로 이루어진
주파수의 음이 얻어질 수 없기 때문이다 순정율이 3도와 5도의 결합으로 만들어지기 때문에 이를 다음과 같은 수식으로 표현할수 있다 다장조 음계에서의 값:
도=1, 레=2F, 미=T, 파=-T, 솔=F, 라=T-F, 시=F+T 그리고 각 음에 대한 상대적인 주파수는 이렇게 구할 수 있다 순정률 역시 문제가 있다 그 이유는 유리수의 비례를 적용하였기 때문이다 순정율의 결정적인 문제 한 옥타브사이에 주파수의 비는 2이므로 이를 12간격으로 나누었을때
하나의 간격에 대한 주파수 를 다음과 같이 구할수 있다 평균율이 피타고라스 음계나 순정율과는 다르게
무리수비에 의해 음계를 구성되었다는 것이다 이전 음의 f배 앞의 식을 통해 인 음에서 거리가 n 반음 만큼의 거리에 있는 음에 대한 주파수 P는 다음의 식을 사용하여 계산 할 수 있다 평균율 역시 약간의 차이가 있지만 아주 작은 차이라 들어서는 구분할 수가 없다 조옮김을 하는데 아무런 문제를 일으키지 않는다 평균율에 대한 여러 가지 지적사항 들이 있었지만
이를 능가하는 장점들이 많이 있어
지금까지도 널리 사용되고 있다 삼분손익법에 대한 내용은 <관자>, <희남자>, <사기>, <한서>, <율려신서>등에 담겨져 있다 표에 의하면 임은 황으로부터 8번째 율이 되고,
태는 임으로부터 또 8번째 율이 된다. 이처럼 간격 8로 서로 생겨나는 법칙이라는 뜻에서
삼분손익법을 격팔상생법이라고 부르기도 한다 많은 건축가와 예술가들에 의해 황금비율이 그들의 건축물이나 미술작품에 응용되기도 하는데 이는 음악에서도 예외는 아니다. 황금비를 이용한 작곡가로는
바흐, 모차르트, 바르톡, 헨델,
쇼팽, 바흐 등이 있다. 거제중학교
1124정수연 단, 그 길이가 두 배 이상 커지면 반으로 나눈다 바르톡의 ‘현악기, 타악기, 첼리스트를 위한 음악’에서 황금비를 교묘하게 사용하고 있다. 이 곡 첫 악장은 89마디로 이루어져 있는데 마치 산을 올랐다가 내려가는 느낌이 든다. 처음에는 피아니시모로 시작해 황금비율 지점인 55번째 마디에서 포르테시모로 클라이맥스를 이루고 다시 피아니시모로 줄어든다. 55마디 앞부분은 34와 21마디로 나뉘고
34마디는 13마디와 21마디로 나뉜다. 뒤의 34마디 역시 13마디와 21마디로 나뉘어 황금비를 적용시켰다. 헨델의 메시아 중 할렐루야 합창은
전체가 94마디로 이루어져 있는데,
가장 중요한 부분은 악보 전체에서
근접하는 57~58번째 마디에서 일어난다. 그리고 남아있는 37마디 중에서 79번째 마디 역시 남아있는 37마디 중에서 황금비율에 근접한 지점이다. 쇼팽의 전주곡 중 1번 8번째 마디 :이 곡에서의 최저음 발생
13번째 마디:화성적인 측면에서
최초의 반음계적인 변화 발생 21번째 마디:이곡에서 최고음과
가장 큰 음향에 의한 절정점 형성
34번째 마디:곡이 끝남 Mozart - Piano Sonata No. 1 in C major, K279 모차르트의 다장조 소나타 1번을 보면
1악장은 62마디로 이루어져 있다. 그중에서 38마디에서 주제 제시부가 나오는데 이부분이 황금비와 비슷한 1.63이다. 바흐와 수학 독일 뒤셀도르프의 음악학자 헬가 퇴네는
특이한 숫자 패턴을 탐구했다. 퇴네가 분석했던 바흐의 작품들은 가사가 없는 기악곡들 이었다. 헬가 퇴네의 저서<소나타 가단조:침묵의 수난곡> '게마트리' 2+1+3+5
=14 58+86+14
=158 퇴네에 의하면 바흐는 자신의 이름과 수치가 같은 음계로 서명을 암호화하여 첫 악장에 기재했다고 한다 그리스도 112 242 Confiteor Unum Batisma 퇴네는 이런 숫자놀이를
바흐의 의도적 행위라고
생각했고 이런 생각을 한
사람이 퇴네 만은 아니였다. 빌헬름 베르커 프드리히 스멘트 아마 바흐는 14라는 수를 의도적으로 캐논 같은 밀교적인 작품에 삽입했을 것이라고 말하였다. 그는 BACH가 알파벳 수에 따라 정확히 14를 나타내기 때문에 14는 바흐의 수라고 생각한다. 그에 의하면 '바흐가 하필이면'
미츨러 음악학협회에 14번째 회원으로
가입했다는 것은 흥미로운 일이라고 한다. 하지만 바흐가 일상적인 작곡을 하면서 내내 어떤 메시지를 암호화해 넣었으리라는 추측은 설득력을 잃은 궤변처럼 들린다고 평했다. 마르틴 게크 퇴네의 의견에 반대 마티아스 벤드트 마티아스 벤드트는 음악에 대한 수의 상징적인 해석을 더욱 신랄하게 비난했다. 벤드트는 1990년대 초에 바흐의 작품들을
직접 고안한 프로그램을 조사했고
13을 추적하여 14에 대한 연구를 패러디 했다. 실제로 바흐의 작품에서 13도도 많이 발견되었다. 바흐와 평균율 음악사학자들의 공통된 견해에 따르면
바흐의 평균율은 오늘날 널리 쓰이는 평균율이 아니다. 학자 들은 바흐가 어떤 조율법을 염두에 두고
<평균율 클라비어 곡집>을 지었는지
영원히 알 수 없을 거라고 했다. 그런데 2005년,
미국의 피아노 연주자 브래들리 리먼이 색다른 주장을 재기했다. 그는 <평균율 클라비어 곡집>의 원본 악보 표지의 글씨가 아니라
별뜻 없이 제목 위에 끼적거린 듯한 장식 그림에 주목했다. 그 장식은 소용돌이 11개로 이루어졌다. 건반악기 조율법을 정확하게 알려주려면
완전5도 음정 11개를 제시해야 한다. 리먼은 이 사실을 염두에 두고 더욱더 열심해 관찰했다. 처음에는 내부에 고리가 1개 있는 소용돌이가 3개 나오고, 그 다음에는 내부에 고리가 없는 소용돌이가 3개, 마지막으로 내부에 이중고리가 있는 소용돌이가 5개 나온다는 것을 리먼은 알아차렸다. 리먼은 바흐가 끼적거린 그림에서
조율법을 읽어내기 위해 우선 그림을 뒤집었다. 사진 그런데 바흐의 악보 그림에서 첫 음은 무엇일까? 작품 제목에 등장하는 단어 clavier의 첫글자 C가 거꾸로 뒤집은 그림의 첫 소용돌이를 향할뿐더러
그 소용돌이에 추가로 C가 붙어있다고 그는 지적한다. 리먼은 이 같은 분석을 담은 글을 썼고,
자신이 발견한 방법 대로 조율한 피아노로 바흐의 작품들을 연주하여 녹음했다. 평론가 들의 일치된 의견은 그의 연주가 듣기 좋고, 바흐의 ‘평균율’일 가능성이 충분히 있다는 것이다. 리먼의 해석에 동원된 몇가지 전제는 반드시 받아들일 필요는 없지만, 가장 수학적인 작곡가 중 한명인 바흐가 클라비어 조율법을 수학적 암호로 남겨놓았다는 생각만큼은 멋지다고 안할 수가 없다. 앨리스의 센트 앨리스가 로그함수를 이용하여
싸이클릭 센트라는 단위를 고안함으로서
음정의 단위를 진동수의 정수 비에서
일정한 간격의 대수적인 수로 바꾸어
새로운 단위를 만든 것이 앨리스의 센트 단위이다. 8/9와 9/20의 두 음정이 합하면 두 음정의 비례를 곱하여 4/5라는 장 3도의 음정을 찾을수 있다. A×B=C의 형식을 로그함수의 성질 를 사용하여 A+B=C의 형식으로 만든 것이다. 우리가 모든 음정 비례를 log로 바꾸면, 이들 단위를 곱하고 나누는 것 대신 더하고 뺄수 있게 된다. 한옥타브를 1200, 온음을 200, 반음을 100센트로 잡아 분수가 나오지 않아 편리하다. 평균율은 반음을 100, 온음을 200센트로 했기 때문에
현악기와 건반악기 또는 관악기와의 협주시 조옮김이
발생하더라도 아무런 문제가 발생하지 않는다. 수학과 음악의 공통점 무조음악과 변주곡 기보법과 좌표평면 컴퓨터음악과 미적분학 컴퓨터 음악은 전자음을 무한히 세분화하는
아날리시스와 분화된 요소를 다시 종합하는
신테시스를 중요한 수단으로 한다 이는 각각 수학의 미분, 적분의 아이디어와 유사하다. 17세기 수학자 이자 철학자인 데카르트는 x축과 y축으로 이루어진 좌표평면을 고안했다. 그러나 그보다 앞선 11세기 초
이탈리아의 음악가 귀도 다레쪼는 기보법을 만들어 냈다. 기보법에서는 여러개의 음표를 x축에 따라 배열하고 오선에서의 위치,
즉 y축에서의 높이에 따라 음의 높낮이를 표현한다. 따라서 수학의 좌표평면과 음악의 기보법은 비슷한 이이디에서 출발한 것으로, 음악의 기보법은 수학의 좌표평면보다
6세기나 먼저 만들어졌다고 볼수 있다. 19세기의 수학자 힐베르트와 음악가 쇤베르크는
각각 수학사와 음악사에 큰 기여를 했다. 힐베르트가 제안한 새로운 기하학은
자연속에서 기하공간을 찾는 것이 아니라
인간의 사고에서 인위적으로 기하 공간을 구성한다. 쇤베르크는 12음 음악으로
장조와 단조 체계를 벗어난
무조 음악의 기초를 닦았다. 조성음악이 자연의 배음 원리를 충실히 따른다면
무조 음악은 인간의 사고를 통해 인위적으로 구성된
요소이므로 힐베르트의 기하학과 비슷한 관점에서
시작되었다고 볼수 있다. ‘도도솔솔 라라솔’로 시작하는 모차르트의
<반짝반짝 작은 별>은 가장 유명한 변주곡 중의 하나이다. 이곡의 기본 멜로디는 계속 변형되면서 곡의 저 편에 깔려있다. 비단 변주곡 뿐만 아니라
대부분의 음악 작품에서
기본 이 되는 멜로디는 그대로,
혹은 변형되어 곡 전체를 흐른다. 수학의 가장 중요한 연구 주제중 하나는 변화를 통해 불변으로 남아있는 성질을 탐구하는 것인데,
이런 점에서도 수학은 음악과 공통점이 있다.
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