Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Sylow Teoremleri

No description
by

Ceren Birben

on 24 January 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Sylow Teoremleri

SYLOW TEOREMLERİ Peter Ludwig Mejdell Sylow ⋂Peter Sylow 12 Aralık 1832 günü Norverç'in Christiania (bugünkü Oslo) kendinde doğmuştur. Christiania Üniversitesi'nde öğrenciyken 1853 yılında yapılan bir matematik yarışmasında birinci olur ve altın madalya kazanır. 1855 yılında üniversiteyi bitirince akademik çalışma yapmak istemesine rağmen kadro bulunmadığından Friedenthal kasabasına lise öğretmeni olarak atanır. Lisede ağır ders yüküne rağmen araştırma merakı ile Abel'in eliptik fonksiyonlar üzerine çalışmalarını okur; daha sonra Galois'nın çalışmalarına da bakar. Denklem çözümleri ile ilgili çalışmaları inceler.
1861'de bir bursla Paris ve Berlin'e gider. Paris'te Lioville ile rasyonel mekanik, Duhamel ile limitler, Chasles ile konikler üzerinde çalışmalar yapar; Berlin'de Kronecker ile görüşür. Bu sırada Weierstrass da Berlin'dedir, fakat çok hasta olduğundan Sylow onunla görüşemez. 1862'de Christiania Üniversitesi'nde bir yıl ders verir. Abel ve Galois'nın denklem çözümleri ile ilgili yaptıklarını anlatır. Bu dönem öğrencilerinden biri, daha sonra kendi adıyla anılan gruplar ve cebirler bulunan Sophus Lie'dir. Bu sıralarda henüz Sylow Teoremleri'ni ispatlamamıştır; ancak, Cauchy Lemması'nı ispatladıktan sonra "bir sonlu grubun mertebesini bölen hehangi bir p asal sayısı alındığında, bu grubun p^n mertebeli alt grubu var mıdır?" dşye sorar. Asıl teoremini on yıl sonra yayınlayacaktır ve o tarihten itibaren ünü artacaktır. 1873-1881 yılları arasında Lie ile birlikte Abel'in tüm çalışmalarını yayınlar. Uzun süre Acta Mathematica dergisinin editörlüğünü yapmıştır. 1894'te Kopenhag Üniversitesi tarafından fahri doktora ile ödüllendirilir.
1869 yılında Christiania Üniversitesi'nden önerilen bir profesörlük kadrosunu kabul etmez. 65 yalında lise öğretmenliğinden emekli olduktan sonra, öğrencisi Lie'nin gayretiyle, Christiania Üniversitesi'nde Sylow için bir kürsü ihdas edilir. Sylow, 7 Eylül 1918'de ölünceye kadar bu kürsüyü muhafaza eder. Tanım: X bir küme, G bir grup olsun. Eğer GxX X ile gösterilen ve aşağıdaki koşulları (g,x) g.x i. e.x=x A'nın her x elemanı için
ii. (g1.g2).x=g1.(g2.x) Vg1,g2CG ve VxCX grup çarpması etki çarpması etki çarpması sağlayan bir fonksiyon varsa G grubu X kümesine etki eder denir. X'e de G küme denir. Teorem: X, G küme olsun. xCX için Gx={gCG: g.x=x} G'nin bir alt grubudur. Bu alt gruba X'in sabitleştiricisi denir. Teorem: X, G küme olsun. x1,x2CG için
"x1~x2 <=> g.x1=x2 olacak şekilde gCG vardır."
bağıntısı X üzerinde denklik bağıntısıdır. Tanım: X G-küme olsun. Yukarıda tanımlanan denklik bağıntısına göre xCX'in denklik sınıfını x ile gösterelim.
x={yCX | x~y} = {yCX | g.x=y o.ş. gCG var.} = {g.x | gCG} = Gx Tanım: G bir grup olsun. Eğer G'nin her elemanının mertebesi p asalının bir kuvveti ise G'ye p-grup denir. Bir G grubunun H alt grubu p-grup ise H'ye G'nin p-alt grubu denir. Cauchy Teoremi: G sonlu grup, p||G| ise G, p mertebeden bir elemana sahiptir, böylece p mertebeden alt gruba sahiptir. Sonuç1: G sonlu grup olsun.
G p-gruptur. <=> G'nin mertebesi p'nin bir kuvvetidir. Sonuç2: G p-grup ise Z(G) = <e>'dir. Tanım: H<G alt grubu ise
N(H)={gCG: gHg =H} kümesine H'nin G'deki normalleştiricisi denir.

H<G N(H)<G,
H<N(H) Ön teorem: G sonlu grup, H, G'nin p-alt grubu ise
[N(H):H] [G:H](mod p) Sonuç: G sonlu, H<G p-alt grubu ise p|[G:H] ise
N(H) = H'dır. 1.Sylow Teoremi: G sonlu grup, |G|=p.m n>1, p | m olsun. O zaman
i. Her 1<i<n için, G, p mertebeden bir alt grup kapsar.
ii. iC{1,...,n-1} olmak üzere H<G ve |H|=p ise G'nin mertebesi p olan öyle bir K alt grubu vardır ki H<K'dır. n i i i+1 Kanıt: Cauchy teoreminden, G p mertebeden bir alt grup kapsar. Tümevarımla her i<n için G'nin p mertebeden alt grubu varsa p mertebeden alt grubunun varlığını gösterelim.
|H|=p olsun. i<n olduğundan
|G|=|H|.[G:H] => p.m=p.[G:H] => p|[G:H]'dır.

Bir önceki sonuçtan p|[N(H):H]'dir.
H<N(H) olduğundan N(H) grubunu düşünebiliriz.

p| N(H) => N(H) 'da p mertebeden bir alt grup vardır.

Bu alt grup A N(H) olsun.

A



O halde G'de p mertebeden alt grup A olur. tümevarımdan V1<i<n, p mertebeden alt grup vardır. i i+1 i Lagrange i. n i H H H H H < H =p H<A<N(H) => H<A A H p= = A p i => |A|=p 'dir. i+1 i+1 i ii. |H|=p ise yukarıdan |A|=p olacak şekilde A<G vardır. Üstelik H<A'dır. i i+1 Tanım: G grup olsun. G'nin maksimal p-alt grubuna Sylow p-alt grubu denir. G sonlu grup, |G|=p.m, p | m ise 1.Sylow Teoreminden G'nin Sylow p-alt grupları p mertebelidir. P, Sylow p-alt grup ise
g.p.g (P'nin eşleniği) de Sylow p-alt gruptur. -1 n n G'nin tek Sylow p-alt grubu varsa bu alt grup normaldir. K<N<G, K G'de Sylow p-alt grup ise K, N'de Sylow p-alt gruptur. Örnek: G=S |S |=6=2.3 3 3 p'.m veya m.p' 2.3 H ={1,(12)}=<(12)>
H ={1,(13)}=<(13)>
H ={1,(23)}=<(23)> } 1 2 3 S 'ün Sylow 2-alt gruplarıdır. Mertebeleri 2'dir. Dolayısıyla Sylow 2 alt grupları tek olmak zorunda değildir. 3 S 3 <(12)> <(13)> <(23)> <(123)> <e> 2.Sylow Teoremi: G sonlu grup, P ve P G'nin Sylow p-alt grupları olsunlar. O zaman P ve P eşlenik alt gruplardır. Yani P =gP g olacak şekilde gCG vardır. Buradan P P 'dir. 1 1 2 1 2 -1 1 2 = ~ Kanıt: X={gP : gCG} P xX X 1 2 (y,gP ) ygP 1 1 X P kümedir. |X| |X |(mod p) 'dir.

|X|=[G:P ] 'dir ve p | [G:P ] 2 P 2 1 1 , [G:P ]= |G| |P| 1 1 => |G|=|P |.[G:P ] 1 1 eğer p|[G:P ] 1 =p.p.t olur ki n p olamaz. n+1 Böylece |XP |=0 dır. xP C xP => VyCP y.xP =y.x.P =xP => x yxCP => x Px P 1 2 1 1 1 -1 1 -1 2 n ve |P |=|P |=|x Px| => P =x Px g=x alırsak P=gP g olur. 1 2 -1 2 1 2 1 2 -1 -1 -1 2 -1 Sonuç: G sonlu, H<G p-alt grubu ise p|[G:H] ise N(H)=H'dır. 3.Sylow Teoremi: G sonlu grup, p||G| ise G'nin Sylow p-alt gruplarının sayısı n , G'nin mertebesini böler ve n 1(mod p) 'dir. p p Kanıt: P G'nin Sylow p-alt grubu olsun.
X={G'nin Sylow p-alt grupları} olsun.
ve PxX X
(x,T) xTx tanımlayalım.
O zaman X P-kümedir.
|X| |X |(mod p) n |X |(mod p)
X ={TCX: VxCP x.T=T}
TCX ise (xCP alalım),
x.T=T => x.T.x =T => xCN(T) => P N(T)
Böylece, P ve T, N(T)'nin Sylow p-alt grubudur.

2.Sylow teoreminden P ve T eşlenik alt gruplardır.
T < N(T) olduğundan T'nin eşleniği T'dir.
O halde P=T'dir.
X ={P} => |X |=1
n 1(mod p) -1 p p p -1 n T,P, G'nin Sylow p-alt
grupları olduğundan
N(T)'nin de Sylow
p-alt grubudur. p p p . . . . . . Tanım: G bir grup olsun. Eğer G'nin <e> ve G'den başka normal alt grubu yoksa G'ye basit grup denir. Örnekler: |G|=12 ise G'nin Sylow 3-alt gruplarının mertebesi 3'tür.
|G|=24 ise G'nin Sylow 2-alt gruplarının sayısı 1 veya 3'tür.
G sonlu abel grup, p||G| ise G'de tek Sylow p-alt grup vardır.
15 mertebeli grup basit olamaz.
45 mertebeli grup 9 mertebeli normal alt grup kapsar.
r>1 için p mertebeli gruplar basit değildir.
Mertebesi 30 olan grup basit değildir. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kaynaklarım: *Cebir Dersleri - Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
*en.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow
*Soyut Cebir 2 ders notlarım Teorem: p asal tamsayı |G|=p , nCN olsun. X sonlu G-küme ise
|X| |X |(mod p) olur. n G
Full transcript