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Interpolacion de Hermite

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José Miguel Lobato Fajardo

on 7 November 2013

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Transcript of Interpolacion de Hermite

Interpolación de Hermite
¿Qué es?
En el análisis numérico, la interpolación de Hermite, nombrada así en honor a Charles Hermite, es un método de interpolación de puntos de datos como una función polinómica. El polinomio de Hermite está estrechamente relacionado con el polinomio de Newton, en tanto que ambos se derivan del cálculo de diferencias divididas.
Consiste en buscar un polinomio Hn(x) por pedazos, que sea cúbico en cada subintervalo [X (i-1), Xi], 1 <= i <= n y que cumpla f’(X) en los puntos { X0,…..,Xn }, donde f(X) es la función que se quiere interpolar.
La función Hn(X) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de sistemas lineales de ecuaciones de tamaño 4x4 cada uno.
• Para cualquier problema de interpolación polinomial de Hermite:
La solución se puede calcular siguiendo un esquema similar al caso de la interpolación clásica Diferencias Divididas, con argumentos o nodos repetidos. Tales diferencias se obtienen a través de las siguientes propiedades:

Así, la expresión nos dice, por ejemplo, que: f [ X0,X0 ] = f(X0) ó d0. De esta forma se puede generar un tabla de Diferencias Divididas con argumentos repetidos como sigue:

Altura de un sonido
La altura de una nota musical está determinada por la frecuencia de la vibración que la produce. Por ejemplo, el do central en el piano corresponde a una vibración de 263 hertz (ciclos por segundo). Una nota que esté a una octava arriba del do central vibra a 526 hertz, y el do, dos octavas arriba del do central vibra a 1052 hertz
Sean Xo,….,Xn puntos distintos. Conocidos los valores de la función f y su derivada f’ en Xo,…,Xn. Se trata de encontrar un polinomio de el menor grado posible que coincida con f y con su derivada en los puntos señalados .

Se demuestra que dicho polinomio existe y es único. Además tiene grado 2n+1. A dicho polinomio se le llama polinomio de interpolación de Hermite de f en los puntos Xn i=0,…,n.

• Datos numéricos: f(x), f’(x), i=0,…,n
• Espacio de funciones interpoladas: P2n+1
La fórmula para sacar el polinomio resultante por el método de interpolación de Hermite es:
1.- Consideramos a la velocidad del sonido (343 m/s) como la derivada en cualquier octava.
2.- El oído humano es capaz de percibir frecuencias entre 20 y 20.000 Hz, aunque va disminuyendo por la edad.
3.-Deducimos que la vibración está dada por V=263(2^x)
Para encontrar el polinomio de Hermite:
Armamos nuestra Tabla
Probamos para Xk=2.3
Calculamos el polinomio de Hermite.
Graficamos el polinomio obtenido y lo comparamos con el polinomio original.
El termino de octava se toma de una escala musical, se considera el intervalo entre dos sonidos que tienen una relación de frecuencias igual a 2 y que corresponde a ocho notas de dicha escala musical. Por ejemplo: si comenzamos con una nota como DO, la octava completa será: DO-RE-MI-FA-SOL-LA-SI-DO.
Octava:
Polinomio de Hermite
V=263(2^x)
Ventajas:
Garantiza que la tangente de la curva generada es continua a lo largo de múltiples segmentos.
Otra ventaja es que las derivadas en ciertos puntos de un polinomio de interpolación, valen igual que las derivadas de la función original.

Desventajas:
La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de las primeras derivadas, lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.
El polinomio será de n grados más alto de lo necesario.

Bibliografía.
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_de_Hermite
http://ciencias.udea.edu.co/programas/pregrado/CNM-425/docs/clase5.pdf
http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/capitulo4/ajuste2.pdf
http://www.slideshare.net/alejandropacheco31149359/interpolacin20polinmica2
http://nottheremin.wordpress.com/2008/11/09/sonido-frecuencia-y-el-oido-humano/

Hughes_Hallett, Deborah; et al. Cálculo. Segunda Edición. México D.F.: CECSA, 2009.
Conclusión.
Integrantes:
Anaya Nava Ricardo Daniel.
Gonzales Alejo Eduardo.
Hernández Alvarado Ángel Jonathan.
Hernández Zermeño Saúl Iván.
Jaimes Dominguez Ricardo Alejandro.
Lobato Fajardo José Miguel.
Olvera Guzmán Mauricio.
La interpolación de Hermite puede tener aplicaciones en longitud, velocidad y tiempo debido a que las derivadas son las velocidades y podemos recabar dicha información sin perderla.
La interpolación de Hermite puede
hacerse en general, no solo para la primera derivada, sino para derivadas de cualquier orden.
Se utilizaba para predecir la ubicación de estrellas y planetas, conociendo algunos puntos de la orbita, y su velocidad en aquellos puntos.
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