Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

SphericalPythagoras

Comunicação apresentada no Encontro da Aproged a 6 de abril de 2013
by

Helena Mena Matos

on 21 November 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of SphericalPythagoras

segmento de reta
arco de círculo máximo
reta
círculo máximo
Duas Geometrias e Um Teorema
Helena Mena Matos FCUP/CMUP
Geometrias' 13- Encontro da APROGED-2013
geometria euclidiana
geometria esférica
teorema de Pitágoras
A Geometria Euclidiana é a geometria axiomatizada por Euclides de Alexandria (300 a.C.) na sua obra "Elementos".
Os axiomas podem ser divididos em 2 grupos - Noções Comuns e Postulados. As Noções Comuns são afirmações de caráter geral (igualdade e tamanho) válidas não só para figuras geométricas.
Os Postulados são afirmações de caráter geométrico.
P1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
Os Postulados
P2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta.
P3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.
P4. Todos os ângulos retos são iguais.
Os Postulados
P5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.
P5. Por um ponto exterior a uma reta passa uma e uma só reta paralela à reta dada.
Em triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado subentendendo o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados contendo o ângulo reto.
Elementos, Livro 1, Proposição 47
Independência e Consistência
Teoria Axiomática
?
300 A.C. - 1826
P1.
Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
P2.
Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente nas duas direções para formar uma reta.
P3.
É possível descrever um círculo com quaisquer centro e raio.
P4.
Todos os ângulos retos são iguais.
P5.
Por um ponto exterior a uma reta passa uma e uma só reta paralela à reta dada.
(John Playfair 1748-1819)
Nicolai Ivanovitsch Lobachewsky (1793-1856)
János Bolyai (1802-1860)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
P1.

Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
P2.

Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente nas duas direções para formar uma reta.
P3.

É possível descrever um círculo com quaisquer centro e raio.
P4.

Todos os ângulos retos são iguais.
P5.
Por um ponto exterior a uma reta passam pelo menos duas retas paralelas à reta dada.
Geometria Hiperbólica
Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.
Geometria Esférica
formalizada como sistema axiomático no séc. XIX
muitos resultados conhecidos já desde a Antiguidade
P5.
Por um ponto exterior a uma reta não passam retas paralelas à reta dada.
ponto (no plano)
ponto (na sup. esférica)
ângulo
ângulo
triângulo
triângulo esférico
[Elementos, Livro 6, Proposição 31]
A soma S dos ângulos internos de um triângulo esférico não é constante.
180º < S < 540º
Quadrado Esférico
Um quadrado esférico é um polígono com 4 lados iguais e com 4 ângulos internos iguais.
90º < Ângulo Interno < 180º
Num quadrado esférico o comprimento do lado fica determinado pela medida do ângulo interno e vice-versa.
Polígono Regular Esférico
Um polígono regular esférico é um polígono com n lados iguais e com n ângulos internos iguais.
Num polígono regular esférico o comprimento do lado fica determinado pela medida do ângulo interno e vice-versa.
Círculo Esférico
Conjunto dos pontos sobre a esfera, cuja distância a um ponto fixo (centro do círculo) é menor ou igual a um valor fixo r.
Teorema de Pitágoras (enunciado geométrico)
triângulo retângulo
polígono regular
círculos
figuras semelhantes
Na geometria esférica não existe o conceito de semelhança.
A forma de um polígono determina o seu tamanho.
[ a área de um triângulo é proporcional à diferença entre a soma dos seus ângulos internos e ]
Triângulo Retângulo (definições alternativas na geometria euclidiana)
1. Triângulo com um ângulo reto.
2. Triângulo em que a amplitude de um dos ângulos internos é igual à soma das amplitudes dos outros dois.
Triângulo P
Triângulo em que a amplitude de um dos ângulos internos é igual à soma das amplitudes dos outros dois.
Teorema de Pitágoras na Esfera
Em triângulos P, o círculo sobre o lado oposto ao ângulo maior é igual aos círculos sobre os lados contendo esse ângulo.
c = a + b
2 2 2
c = a + b
2 2 2
Teorema de Pitágoras Esférico
Num triângulo P o círculo sobre o lado oposto ao ângulo de maior amplitude é igual (à soma) aos círculos sobre os outros lados.
Muito Obrigada pela Vossa Atenção
Referências
1. P. Maraner,
A Spherical Pythagorean Theorem,
The Mathematical Intelligencer (2010)
2. W. Dickinson & M. Salmassi,
The Right Right Triangle on the Sphere
, The College Mathematics Journal (2008)
3. Oliver Byrne,
The First Six Books on the Elements of Euclid
, London: William Pickering (1847)
Existirá uma versão esférica do teorema de Pitágoras preservando o seu espírito geométrico em termos de
relação entre áreas?
Full transcript