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Ecuación bidimensional de onda

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by

Alex Godoy

on 9 December 2013

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Transcript of Ecuación bidimensional de onda

Ecuación bidimensional de onda
Consideramos la membrana rectangular R ilustrada en la figura.
Paso 3:
Para obtener la solución que también satisface las condiciones iniciales (3) y (4), se consideran las series dobles
Membrana Rectangular
Image by Tom Mooring
Introducción
MEMBRANA RECTANGULAR
Paso 1: Tres ecuaciones diferenciales ordinarias.
Aplicando el método de separación de variables:
Paso 2: Satisfacción de las condiciones de frontera.
Supuestos físicos:
Masa de la membrana será constante. La membrana tendrá flexibilidad perfecta y no ofrece resistencia a la flexión.
La membrana se tensa y se fija en su frontera en el plano xy.
La tensión T por unidad de longitud, es la misma en todos los puntos y no cambia durante el movimiento.
La deflexión v(x,y,t) de la membrana durante el movimiento es pequeño en comparación al tamaño de la membrana y todos los ángulos de inclinación son pequeños.
ESTUDIANTES:
Alex Godoy
Byron Ludeña
Henry Vasquez
Christian Sari

Uso de las series dobles de Fourier
El análisis que presentamos sirve tanto para membranas como para placas ya que las primeras se rigen a la tensión sometida y las segundas a su rigidez.
Las membranas tienen un gran campo de aplicación en la acústica.
El análisis de membranas un estudio de los modos de vibración en dos dimensiones.
Tomando en cuenta la ecuación de la onda:
Poniendo las condiciones:
Considerando:
Reemplazamos en (1) y separamos variables:
Aplicamos una vez más el método de separación de variables en la función de amplitud F(x,y)
de donde se obtiene:
Reemplazado en (7) y separando las variables se obtiene:
Ambos miembros deben ser iguales a una constante. Esta constante debe ser negativa, entonces:
De esta expresión se obtienen dos ecuaciones para H y Q:
Las soluciones generales para (9) y (10) son:
Por (5) y (2) se sigue que la función F=HG debe ser cero en la frontera. Se obtienen así las condiciones:
Por lo tanto H(0)=A=0 y entonces:
Debe tomarse B ≠ 0, pues de otro modo H≡y F≡=0. Por tanto, ka=mπ
Del mismo modo se concluye que C=0 y p debe restringirse a los valores p=nπ ⁄ b . Se obtienen así las soluciones:
Por tanto:
Una vez que se ha analizado (7), se analiza (6).
como p= nπ/b ; k= mπ/a , por lo tanto
Entonces en la ecuacion (6), la solucion general es
Solución del problema completo
A partir de esta expresión y (3) se obtiene:
Esta es una serie doble de Fourier.
Supongamos que f(x,y) puede desarrollarse en una serie como esta. Entonces los coeficientes de Fourier Bmn de f(x,y) en (14) pueden determinarse de la siguiente manera. Al hacer:
Entonces (14) puede escribirse en la forma
para
y
como constante esta sería la serie senoidal de Fourier en función de
x
.
Sabiendo que los coeficientes de desarrollo son:
Además (15) es la serie senoidal de Fourier de Km(y) y por medio del mismo análisis anterior tenemos
Por esta expresión y (16) se obtiene la fórmula general de Euler:
para los coeficientes de Fourier de f(x,y) en la serie doble de Fourier (14).
Para determinar los 〖B*mn se deriva (13) término a término con respecto a t; usando (4), se obtiene
Suponiendo que g(x,y) puede desarrollarse en esta serie doble de Fourier. Entonces, procediendo como antes se encuentra
Deducción de la ecuación:
La ecuación diferencial que gobierna el movimiento de la membrana se obtiene considerando las fuerzas que actúan sobre una pequeña porción de la membrana de la
figura (1.1).
figura 1.1
Componentes verticales de las fuerzas
estas componentes a lo largo del lado derecho e izquierdo son
Puesto que los ángulos son muy pequeños sus senos pueden ser sustituidos con sus tangentes.
De manera similar, en los otros dos lados
Por la segunda ley de Newton
Luego dividiendo para
p
∆x∆y, tenemos:
Haciendo que ∆x, ∆y tiendan a 0, se obtiene la ecuación diferencial.
Obteniendo así la ecuación bidimensional de onda, la ecuación entre el paréntesis es el laplaciano ∇ de
v
. Por tanto (1.3) puede escribirse
Ejemplo
Encontrar las vibraciones de una membrana rectangular de lasos a=4pies y b=2pies. Si la tensión es 12.5 lb/pies, la densidad es de 2.5 slugs/〖pies〗^2 (como la del caucho ligero), la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es
Cálculo de los coeficientes de Fourier:
Si m o n es par Bmn=0
Como la velocidad es
Discusión de esta solución.-
se observa que el primer término de la suma no tiene líneas nodales y es por mucho el término dominante ya que los coeficientes de los demás términos son mucho más pequeño; el segundo término tiene las líneas nodales horizontales (y=2/3,4/3), el tercer término tiene dos líneas nodales verticales (x=4/3,8/3), el cuarto termino tiene dos líneas nodales horizontales y dos líneas nodales verticales, y así se podría seguir encontrando las líneas nodales de los siguientes términos.
De donde
Para λmn = λnm quiere decir que existen muchas vibraciones que pueden tener la misma frecuencia, pero diferentes líneas nodales.
Por ejemplo, si
La solución sería:
entonces:
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