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DISTRIBUCIÓN DE CHI-CUADRADO

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Gisela Barrera

on 9 August 2014

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DISTRIBUCIÓN DE CHI-CUADRADO
DISTRIBUCIÓN DE CHI-CUADRADO
Es una distribución que determina si dos variables están relacionadas o no.
CARACTERÍSTICAS
Los valores de chi-cuadrado son > ó = que 0 (no incluye valores negativos)
La forma de la distribución de chi-cuadrado depende de los grados de libertad.
El área bajo la curva y sobre el eje horizontal es 1.
Las distribuciones no son simétricas debido a que presentan un sesgo a la derecha.
DEFINICIÓN

La distribución de chi-cuadrado es la distribución muestral de la varianza (S^2) , es decir, si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá una distribución muestral de varianzas.
Sean
variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica 1, entonces:
Se llama variable aleatoria chi-cuadrado con n grados de libertad
Figura. Gráfica de la función densidad de chi-cuadrado
Pruebas de Hipótesis de la Varianza
Suponga que quiere probarse la hipótesis de que la varianza de una población normal es igual a un valor especifico, es decir . Sea X_1, X_2,...,X_n una muestra aleatoria de 𝑛 observaciones de esta población. Se tiene que
Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza el estadístico tiene una distribución muestral chi-cuadrada con grados de libertad=n-1, el cuál está dado por:
Donde:
Varianza muestral
Varianza de la población de donde se extrajo la muestra
n= Tamaño de la muestra
NIVEL DE SIGNIFICANCIA:
Es el error que se puede cometer al rechazar la hipótesis nula siendo verdadera.
NIVEL DE CONFIANZA:
Es la probabilidad de que un experimento sea favorable, es decir, el éxito.
Ejemplo:
Para un experimento el riesgo de cometer un error es del 5%, lo cual nos indica que el nivel de significancia es 0.05 y por tanto el nivel de confianza es 0.95.
TABLA DE CHI-CUADRADO VALORES TEORICOS
En la tabla se muestran los puntos porcentuales de la distribución 𝑋^2.

Se define como el valor teórico, o valor de la variable aleatoria chi-cuadrarda con 𝑘 grados de libertad, tal que la probabilidad de que 𝑋^2 exceda este valor es . Es decir:


Supongamos un riesgo del 5% ( o un nivel de confianza del 95% ), α=0.05, y grados de libertad ν=10. ¿Cuál es el valor de ?
Se busca la intersección y el resultado es 18.307. Éste es el valor Teórico para
rechazar la hipótesis alternativa.
COMPARACION ENTRE EL VALOR CALCULADO Y EL VALOR TEORICO DE
Hipotesis Nula
Hipotesis Alterna
Frecuencia del Valor Observado
Frecuencia del valor Esperado
PASOS PARA REALIZAR LA DISTRIBUCION DE CHI CUADRADO
Escribir la Hipótesis Nula y la Hipótesis Alterna
Elaborar Tabla de Frecuencias Esperadas
Calcular el Valor de calculado.
Determinar el valor de la Probabilidad
Determinar los Grados de Libertad
Obtener el Valor Teórico de la tabla de P
Realizar comparación entre el Valor Calculado de y el Valor Teórico
FORMULACION DE HIPOTESIS
Hipótesis Nula (Ho):
Asegura que los dos parámetros analizados son independientes uno del otro.
Hipótesis Alterna (H_1):
Asegura que los dos parámetros analizados si son dependientes uno del otro.
CALCULO DE LA TABLA FRECUENCIA ESPERADA
SUMA DE FILAS
SUMA DE COLUMNAS
SUMA TOTAL
CALCULO DE LA TABLA FRECUENCIA ESPERADA
Para calcular los valores de la tabla de frecuencias esperadas se realiza el siguiente calculo:

= (Total columna)x(Total Fila)
Suma Total

CALCULO DE LA TABLA FRECUENCIA ESPERADA
GRADOS DE LIBERTAD
Los grados de Libertad se calculan de la siguiente manera:

v= (Cantidad de filas -1)x(Cantidad de Columnas -1)


v=(2-1)x(2-1)
v=(1)x(1)
v=1
p= 1- Nivel de Significancia
Si el valor del chi- cuadrado calculado es menor o igual que el valor de chi-cuadrado teórico se acepta la Hipótesis nula ( ):


Si el valor de chi-cuadrado calculado es mayor que el valor de chi-cuadrado Teórico se rechaza la Hipótesis nula ( ):

EJERCICIO # 1
1. Una empresa de Estudios Geológicos lleva a cabo una recolección de 200 muestras en 2 ciudades diferentes: Bucaramanga y Cucuta. Las cantidades de minerales en las muestras están relacionadas con la ciudad donde se recolectaron. Nivel de significancia del 5%. Para saber si esta relación es cierta procedemos a usar Chi-cuadrado.
1. Formulación de Hipótesis.
Ho: La cantidad de minerales es independiente del lugar donde se recolecto.
H1: La cantidad de minerales no es independiente del lugar donde se recolecto.

2. Tabla de Frecuencias Esperadas.
3. Calculo del Chi-cuadrado


4. Probabilidad o nivel de significancia

P= 1-Nivel de Significancia
P= 1-0.05 P=0.95
5. Grados de Libertad

V= (Cantidad filas-1)x(Cantidad Columnas-1)
V= (2-1)x(4-1)
V=1x3
V=3

6. Valor Teórico Chi-Cuadrado
Usando la tabla, ubicamos los grados de libertad y el nivel de confianza, con esto hallamos el valor teórico.



7. Comparación del Valor Teórico y el Valor Calculado del

Tenemos:



Observando los Resultados obtenemos que el chi-cuadrado Calculado es mayor al Chi-cuadrado Teórico por lo cual: Se rechaza la Hipótesis Nula ( )
EJERCICIO # 2
En la salida de Campo de Paleontología se tomaron 10 datos de la longitud de machos y hembras cefalópodos. Se quiere relacionar el genero y la longitud de los cefalópodos. Para esto se toma un nivel de significancia del 10%.
1. Formulación de Hipótesis.
Ho: la longitud de los cefalópodos es independiente del Genero
H1: la longitud de los cefalópodos no es independiente del Genero.

2. Tabla de Frecuencias Esperadas.
EJERCICIO # 3
Suponga que los tiempos requeridos por un laboratorio de geoquimica para alcanzar que el agua de una muestra se evapore, forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 12 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

1. Calcular el Valor de . Tenemos = 2, n=12, = 1


2. Grados de Libertad y nivel de significancia
Ubicamos el Valor de la varianza muestral en la tabla de chi-cuadrado y nos da que V= 13 , Nivel de Significancia=0.95.
La probabilidad = 1- Nivel de Significancia
P= 1-0.95 P=0.05 = 0.05


EJERCICIO # 4
En un afloramiento un Geólogo toma los datos de rumbo de unos estratos los cuales muestran que tienen una varianza no mayor a 3°. Se toman 8 datos de rumbo aleatoriamente los cuales dan una varianza muestral de 𝑆^2=6°. Las medidas de rumbo cumplen una distribución normal. ¿ Hay evidencia de que los datos no cumplan la calidad, que afirma el geólogo. Si se tiene un nivel de confianza del 90%?

1. Formulación de Hipótesis

Ho
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