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Copy of TEOREMA DE CHEBYSHEV "Tchebycheff"

Historia,caracteristicas y ejercicios.
by

David Dfnsjdgn

on 14 November 2013

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Transcript of Copy of TEOREMA DE CHEBYSHEV "Tchebycheff"

TEOREMA DE CHEBYSHEV
1821-1894
Pafnuty Lvovich Chebyshev
nació el 16 de mayo de 1821
al oeste de rusia celebre
matematico del siglo XIX.
Trabajos matematicos
Mecanismos y teoria de la
aproximación de funciones
Teoria de los numeros
Teoria de probabilidades y
Teoria de integracion
Para cualquier distribución estadistica de datos de una variable (muestra o ploblación) la proporción (p) minima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándares desde la media es al menos 1-1/k^2, donde k es una constante mayor que 1.
El teorema de Chebyshev nos da la probabilidad mínima
de que la variable aleatoria tome valores a k desviaciones
estándar del valor esperado, para toda k>1.


resultado estadístico que ofrece una cota inferior a la probabilidad
de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a
una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media;
equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la
probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto
de la media. El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no
tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad de datos que
están o no "en medio".
Teorema: Sea X una variable aleatoria de media μ y varianza finita σ². Entonces, para todo número real k > 0,
En otras palabras, la desigualdad de Chebyshev nos dice que la varianza es una medida de dispersión de los valores de X alrededor de su valor esperado.
Dentro de las principales aplicaciones de la desigualdad de Chebyshev , podemos
mencionar las siguientes: - Cálculo de cotas para probabilidades, lo cual es importante cuando es difícil dar un valor exacto de la probabilidad. - Cálculo de tamaño de muestra en la aproximación de la media de una población.
EJERCICIO DE APLICACION
Supónga que el número de artículos producidos en una fábrica durante una semana es una variable aleatoria con media 50. Si la varianza de una semana de producción se sabe que es igual a 25, entonces
¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad de que en esta semana la producción
difiera en más de 10 a la media?
Solución: Por la desigualdad de Chebyshev
var (x) 1
P(IX - 50I ) >=10) <=------------ = ----
10^2 4
entonces la probabilidad de que en la semana de producción el número de artículos exceda en mas de 10 a la media es a lo más 0.25.
EJERCICIO DE APLICACION

Se sabe que en las mujeres de mas de 60 años se desarrolla cierta forma de cáncer con una probabilidad de 0.07 . Se dispone de una prueba de sangre para la detección d tal padecimiento, aunque no es infalible. De hecho se sabe que 10% de las veces la prueba da negativo falso ( es decir, incorrectamente la prueba da un resultado negativo) y 5% de las veces la prueba da positivo falso ( es decir, incorrectamente la prueba da un resultado positivo). Si una mujer de mas de 60 años que se sometió a la prueba recibió un resultado favorable (negativo) cual es la probabilidad de que ella tenga la enfermedad?
Eventos:
C= Una mujer arriba de 60 tiene cáncer.
P= la prueba dio positivo.
Probabilidades
P(C)= 0.07 Probabilidad de que tenga Cancer después de 60 años
P(P’ | C) = 0.10 Probabilidad de que tenga salga Negativo dado que tiene Cancer.
P( P | C’) = 0.05 Probabilidad de que salga positivo dado que no tiene Cancer


Entonces:



La probabilidad de que una Mujer tenga cáncer aun de que el resultado sea negativo es de 0.786% por lo que la prueba es muy confiable.
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