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La distribución Poisson

Sacre bleu!
by

Profe Mate

on 26 October 2013

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Transcript of La distribución Poisson

Ahora que ya sabes usar la distribución
resuelve los ejercicios de práctica que te enviará el profesor a tu correo.
La distribución
La distribución
¿Cómo saber que un proceso es Poisson?
¿Y cómo calculamos la probabilidad?
Tarea
Poisson
La probabilidad de que en cierto intervalo de tiempo sucedan "k" eventos, si se sabe que en promedio hay "m" eventos es...
Poisson
Poisson
Usamos la distribución Poisson para calcular las probabilidades de que cierta cantidad de eventos aleatorios sucedan en un intervalo de tiempo determinado, cuando sabemos el número promedio de eventos que suelen suceder en ese mismo intervalo.
Por ejemplo:
Tu novio (o novia) suele llamarte en promedio 3 veces al día entre semana. ¿Cuál es la probabilidad de que mañana sólo te llame 2 veces? ¿Cuál es la probabilidad de que te llame 7 veces? ¿O de que no te llame mañana?
Veamos algunos ejemplos...
La distribución de probabilidad es Poisson!
La probabilidad de que llame 2 veces es 0.22, de que llame 7 veces es 0.02 y de que no llame es 0.05.
En otras palabras...
es más probable que no llame, a que llame 7 veces.
Visitas que recibe una página web.
No sabemos cuándo llegará el siguiente visitante a una página web (eventos aleatorios).
Los eventos suceden de forma aleatoria e independiente.
La probabilidad de que suceda un evento en un intervalo es proporcional al tamaño del mismo.
Se conoce el número promedio de eventos en cierto intervalo de tiempo.
"mientras más tiempo pase, es más probable que suceda un evento"
La probabilidad de que llegue un visitante en los siguientes 10 minutos es es el doble de la probabilidad de que llegue en los siguientes 5.
Cada visitante es independiente de los demás.
Hay una cantidad promedio de visitas diarias (por ejemplo, 500 visitas al día).
¡Poisson!
El tráfico en una avenida
Sin embargo, el momento exacto en que pasará el siguiente carro es desconocido (al azar)
¡Poisson!
En cierta calle se sabe que pasan en promedio 35 carros por cada 10 minutos.
Mientras más tiempo pase, es más probable que vuelva a pasar un coche.
El momento en que pasa un auto es independiente del momento en que pasan los otros.
Accidentes...
En los 5 semestres anteriores, el número de accidentes por semestre en la carretera a cierta escuela ha sido de 7,5,6,4,7.
En promedio hay 5.8 accidentes por semestre.
No se sabe cuándo será el siguiente accidente.
Cada accidente es obviamente independiente de cuándo sucedieron los demás.
Es improbable que haya un accidente mañana mismo. Pero mientras más tiempo pase, es más probable volver a presenciar otro.
¡Poisson!
Nota: los datos (y la escuela) son ficticios.
Errores en una página
En cierto trabajo escrito, se encontró que en promedio había 3 errores de dedo por página.
Es claro que el que se cometa un error es un evento aleatorio, no se sabe de antemano cuándo sucederá el siguiente error.
Cuando se comete un error, es independiente de cuándo se cometió el anterior.
Pero mientras más se escriba, es más probable que se vuelva a cometer un error.
La probabilidad de que en una (o varias páginas) haya una cierta cantidad de errores se distribuye...
¡Poisson!
Diferencias con la distribución binomial
Aunque en ambas distribuciones nos preguntamos por la probabilidad de que suceda cierta cantidad de eventos o aciertos....
En la binomial se necesitan dos datos: el número "n" de intentos y la probabilidad "p" de aciertos.
En la Poisson sólo se necesita un dato: la cantidad promedio de eventos en cierto lapso de tiempo.
En la binomial, el número de intentos o eventos está fijo.
En la Poisson no hay límite del número de eventos que pueden suceder en el lapso.
Por ejemplo: aunque tu novio o novia te llame EN PROMEDIO
tres veces al día, podría ser que cierto día te llame 5, 10 o 30 veces
...
...
(pausa dramática)
e · m
k!

-m
k
WHAT????
Ok, la fórmula está fea. Pero en EXCEL es sencillo:
Cálculo en EXCEL
La función de Excel es:
=POISSON( num de eventos, promedio, acumulado)
Por ejemplo. Si en cierta ciudad la luz se va en promedio 3.2 veces al mes, la probabilidad de que el mes que viene se vaya 2 veces sería:
=POISSON( 2, 3.2, FALSO) = 0.2087
La probabilidad de que NO se vaya la luz el mes que viene sería:
=POISSON( 0, 3.2, FALSO) = 0.0407
(es 5 veces más probable que se vaya 2 veces a que no se vaya la luz)
La probabilidad de que se vaya 6 veces en los próximos 4 meses sería:
=POISSON( 6, 12.8, FALSO) = 0.016
(porque si en promedio se va 3.2 veces cada mes, se irá en promedio 3.2 × 4 = 12.8 veces durante 4 meses)
Visitas que recibe una página web.
Si una página recibe 500 visitas por día en promedio, la probabilidad de que en un día reciba 600 visitas sería:
El tráfico en una avenida
En cierta calle pasan en promedio 35 carros por cada 10 minutos.
Accidentes...
Si en cada semestre hay en promedio 5.8 accidentes, la probabilidad de que el siguiente mes haya sólo un accidente es:
Errores en una página
En cierto trabajo escrito, se encontró que en promedio había 3 errores de dedo por página.
=POISSON(600,500,FALSO) = 0.00000135
Sin embargo, la probabilidad de que reciba 600 visitas o menos es de:
(es super improbable que reciba EXACTAMENTE 600 visitas)
=POISSON(600,500,VERDADERO) = 0.999
Recuerda que poner "VERDADERO" calcula la probabilidad acumulada de todos los valores menores al indicado.
(es casi seguro que reciba 600 visitas o menos)
La probabilidad que en los siguientes 10 minutos pasen
40 carros sería:
=POISSON( 40, 35, FALSO) = 0.044
La probabilidad de que en la siguiente media hora pasen 100 carros sería:
=POISSON( 100, 105, FALSO) = 0.035
La probabilidad que en la siguiente media hora pasen más de 100 carros sería:
=1-POISSON(100,105,VERDADERO)=0.664
¿porqué 105? ¿porqué se restó a uno?
= POISSON( 1, 0.96, FALSO) = 0.367
Explicación:
Si un semestre tiene 6 meses, y cada semestre tiene en promedio 5.8 accidentes, entonces cada mes tendrá en promedio 5.8/6 = 0.96 accidentes.

Hay un 36.7% de probabilidad que suceda un accidente nuevo el siguiente mes.
La probabilidad de que una página tenga menos de 5 errores es:
= POISSON( 4, 3, VERDADERO) = 0.815 = 81.5%
Usamos "VERDADERO" porque queremos la probabilidad de que haya 0,1,2,3 o 4 errores.
La probabilidad de que una página tenga más de 6 errores es:
=1 - POISSON(6,3,VERDADERO) = 0.033
Es decir, restamos la probabilidad de que haya sólo 0,1,2,3,4,5,6 errores en la página, obteniendo 3.3% de que haya 7 o más.
(enlace de descarga pendiente)
Nota: los ejercicios de práctica no son para entregar. Se resolverán la siguiente clase pero es importante que los intentes antes de la sesión, para que entiendas lo que se está comentando en la clase.
Mientras tanto...
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