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Les déterminants

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by

ruben hillewaere

on 25 September 2013

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Transcript of Les déterminants

5
Le déterminant
Matrice
Nombres réels ou complexes
Indices
Règles de calcul
2x2
3x3
Sarrus
triangles
mineurs et
cofacteurs
Ca marche aussi pour n x n
règle des cofacteurs
C'est quoi?
avec un exemple
on choisit une rangée (ligne ou colonne)
on calcule les cofacteurs des éléments de cette rangée
on multiplie chaque élément par son cofacteur
on additionne les produits obtenus
Résultat = -85
(indépendamment de la rangée choisie)
Utile pourquoi
?
pour résoudre des systèmes!
Propriétés
1
2
Attention :
la réciproque de 1 et 2 est fausse!
3
Si on permute deux rangées, alors le
déterminant change de signe!
4
Pour faire quoi?
on peut partir d'une ligne ou d'une colonne
on peut effectuer deux changements simultanés
on ne multiplie pas les éléments de la rangée de départ (ou alors on applique règle 4 !)
et donc?
exemple 1
exemple 2
Les systèmes
linéaires

... cela veut dire que les inconnues sont au premier degré : facile!
3 équations à 3 inconnues
3 équations à 2 inconnues
Représentation géométrique
revient à déterminer l'intersection de 3 plans dans l'espace
revient à déterminer l'intersection de 2 plans dans l'espace
Cas simples
Méthode des déterminants
Substitution
Combinaison
Inconvénient ?
Au départ, on n'a aucune idée si le système possède une solution unique, est indéterminé ou impossible!
S
le système est impossible ou indéterminé
système possède une solution unique,
avec méthode de Cramer :
Position des plans :
Rangées proportionelles ...
... ou pas!
IMPOSSIBLE
SIMPLEMENT
INDETERMINE
DOUBLEMENT
INDETERMINE
IMPOSSIBLE
SIMPLEMENT
INDETERMINE
Eliminant E :
On choisit un mineur non-nul
On le complète avec les élements des mêmes colonnes
On le borde par les termes du second membre
2 équations à 3 inconnues
IMPOSSIBLE
PARALLELES
CONFONDUS
DOUBLEMENT
INDETERMINE
SECANTS
SIMPLEMENT
INDETERMINE
Un plan dans l'espace!
2 équations à 2 inconnues
revient à déterminer l'intersection de deux droites dans le plan
revient à déterminer l'intersection de 3 droites dans le plan
Systèmes homogènes
jamais impossible
pour avoir d'autres solutions, il faut que le système soit indéterminé
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