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UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES

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Ferchiiz De la Cruz

on 25 November 2014

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Transcript of UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICION CONVINACION LINEAL,
INDEPENDENCIA LINEAL.
Combinación LINEAL
Así, x es combinación lineal de vectores de A si podemos expresar x como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de A.
Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir

sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto A necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector x en cuestión.
4.4

BASE Y DIMENCION DE UN ESPACIO VECTORIAL,CAMBIOS DE BASE
Combinación lineal
ESPACIOS VECTORIALES

UNIDAD 4
Instituto Tecnológico de Cerro azul
Ingeniería Gestión Empresarial
Diana Erendira del Angel Greer
Algebra lineal

Un vector x se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de
multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar ES DECIR


4.3
DEPENDENCIA
E
INDEPENDENCIA LINEAL
En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
definicion
Dado un conjunto finito de vectores


se dice que estos vectores son linealmente dependientes
si existen números ,
no todos iguales a cero, tales que:
Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo 0 . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes
INTEGRANTES
ESPINOZA MAYA MELISSA
HERNANDEZ RODRIGUEZ VALERIA DEL CARMEN
MEZA GONZALEZ NILDA ETHEL
DE LA CRUZ JIMENEZ MARIA FERNANDA

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores 
En R3 se escribieron los vectores en términos de 
Ahora se generalizara esta idea.

Base Un conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si 

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn
Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),

es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.


DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLO: la dimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.


CAMBIO DE BASE
En R2 se expresaron vectores en términos de la base canonica.
En Rn se definió la base canonica
En Pn se definió la base estándar como

Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es mas conveniente alguna otra base. Existe un numero infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta sección se vera como cambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz. 
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