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PROPORCIÓN ÁUREA

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by

Cristina Morata

on 28 January 2014

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Transcript of PROPORCIÓN ÁUREA

PROPORCIÓN ÁUREA
Índice


Definición
Propiedades
Ejemplos en Arquitectura a lo largo de la historia

Propiedades
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.

Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los folículos de los girasoles y en una infinidad de sitios más.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes.

Ejemplos en Arquitectura
Arquitectura megalítica
Stonehenge
Arquitectura mesopotámica
Zigurats
Arquitectura oriental
Pagoda de Yakushiji
Arquitectura egipcia
Pirámide de Kéops
Arquitectura en Grecia y Roma
Partenón
Coliseo
Arquitectura islámica
La Alhambra
Arquitectura renacentista
Santa María Novella
(Alberti)
Villa Rotonda
(Paladio)
Arquitectura en los SXIX-XX
Torre Eiffel (Gustave Eiffel)
Villa Stein
(Le Corbusier)






Definición
La sección áurea del latín "
sectio aurea"
es una proporción que aparece entre los segmentos de una recta al dividir esta en media y extrema razón.
Una recta AB queda dividida por un punto C, en otros dos segmentos (a y b), de tal forma que el segmento mayor es al menor, como el todo es al mayor. Tan sólo existe un punto C que haga posible esta relación, y verifique la proporción.

(a+b)/a=a/b
1+(b/a) = a/b -> aplicamos la igualdad a/b=x
1+1/x=x
x^2-x-1=0
Aplicando la Fórmula cuadrática, concluimos






x= [1 + (5)^1/2] / 2 = 1,618033989...

Éste es el número de oro, que normalmente designamos con la letra griega "
phi
". Su característica principal es que no se puede expresar como proporción de dos enteros, es irracional.



Arquitectura megalítica
El más famoso de esos monumentos megalíticos es Stonehenge, en las llanuras de Salisbury en Inglaterra, construido entre los siglos XX y XVI a. C.
Vemos en la figura, que existe relación áurea entre el ancho de la Herradura de megalitos de tres piedras y el diámetro del Círculo Pagano o Druida. El rectángulo formado por las Piedras de las Estaciones se aproxima al rectángulo √5, formado por dos rectángulos áureos recíprocos.
Arquitectura mesopotámica
El zigurat es el elemento más característico en los templos de la arquitectura mesopotámica. Zigurat es una torre formada por terrazas a las que se ascendía por rampas. El Zigurat más famoso fue la Torre de Babel en Babilonia.
El número de oro
Arquitectura oriental
En Japón, la Pagoda de Yakushiji, está construida en madera y consta de seis techos, todos de diferente tamaño y levantados unos sobre el otro, hasta culminar en una elevada aguja. Sobre el piso asentado en el suelo hay dos niveles de pisos. La estructura completa se articula en ocho alturas iguales. Las alturas de los tres niveles más bajos y de los tres más altos se relacionan con las alturas de los dos centrales en proporciones cercanas a las áureas, tal como lo hacen las cinco inferiores con las tres superiores y viceversa. El predominio de estas proporciones recíprocas en la estructura total también se demuestra por el hecho de que su contorno global se encuadra perfectamente en un solo triángulo de la estrella pentagonal, patrón de relaciones áureas.
Arquitectura egipcia
Las proporciones establecidas para la Gran Pirámide de Keops entre el lado de la base y la altura eran tales, que el cuadrado construido sobre la altura vertical era exactamente igual al área de cada una de las caras triangulares
Arquitectura en Grecia y Roma
Estudiamos Grecia y Roma juntos , basándonos en que los principios de arquitectónicos romanos derivan de los griegos y que el único testimonio escrito de los cánones arquitectónicos usados en la Antigüedad es un
tratado de diez libros, obra del arquitecto romano Vitruvio, titulado De
Architectura, que no es más que un compendio de directrices griegas.

También aportó muchas otras recomendaciones en cuanto a las
proporciones de los templos, todas basadas en modelos griegos. Por ejemplo, se refirió a las distancias entre columnas y a la altura correcta de éstas, ambas medidas expresadas en términos de diámetro columna.

El plano del Partenón corresponde a dos rectángulo
áureos recíprocos y refleja de ese modo la armonía de
diapente. El naos o cella y el tesoro o cámara de la virgen
corresponden a la proporción áurea.

El análisis geométrico, con la ayuda de las líneas centrales de los pilares y
las diagonales, también muestra que las proporciones de los arcos paganos
resultan cercanas a las relaciones del triángulo 3-4-5
Traduciendo esta frase a términos algebraicos:
h^2=c·a
Se aplica Pitágoras al triángulo OAM
c^2=h^2+a^2 -> h^2=c^2+a^2
Sustituyendo h^2, diviendo por a^2, y llamando x=c/a
c^2-a^2=c·a -> x^2=x+1
Que es la ecuación del Número de Oro.
ROMA
El Coliseo Romano fue terminado por Domiciano en el año 82 d. C.. El estudio proporcional del Coliseo muestra que el plano se encuadra en dos rectángulos áureos y que el ancho de la elipse gigante que forman la pared
exterior se relaciona con el ancho de la
arena central en la proporción generada por dos rectángulos áureos recíprocos como se muestra en la figura.
Arquitectura islámica
Arquitectura renacentista
Arquitectura renacentista
Arquitectura SXIX-SXX
Arquitectura SXIX-SXX
La Alhambra de Granada declarada patrimonio de la humanidad en 1984 esconde en su interior un relevante contenido matemático. La gran aportación de los árabes al ámbito matemático se puede ver reflejado en sus famosas construcciones como es el caso de este Palacio Real del siglo XI.

Un ejemplo claro de las proporciones y de la simetría en la Alhambra es el patio de los arrayanes:
Podemos ver que están en verde las proporciones trigonométricas de √3
y en el centro de color rojo la proporción áurea, creando así una proporción jerarquizada dejando la divina proporción en el centro.

La Iglesia de Santa María Novella, construida por Alberti demuestra su preocupación por la armonía de los números y las proporciones
musicales. Toda la fachada se descompone en proporciones sencillas y toma la medida de oro para situar el segundo piso, donde vuelve a usarla para encuadrar el ojo de buey.

Destacamos aquí a Andrea Palladio de Vicenza, estuvo varias veces en Roma y acumuló una experiencia teórica que recoge en sus Quattro libri dell'Arquittetura donde resucita el modelo romano de Vitruvio. Realizó numerosas obras de iglesias y villas en Vicenza, todas ellas al igual que las de Vitruvio o Alberti con un estudio estricto de simetría y geometria, determinado por un sistema
de proporciones meticuloso. Veamos aquí
Villa Rotonda
donde la estructura evoca la de los templos romanos.

Mediante la proporción áurea separa los distintos espacios, así como, los jerarquiza sin darle apenas importancia a la parte inferior (zona de servicio).
Torre Eiffel
Los ejes de sus cuatro pilares de la torre forman un cuadrado de
100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre. 100 x Φ x 2 ≈ 323,61 metros que es la altura de la torre.
También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el dibujo donde el espacio azul seria igual a uno y Phi seria el espacio azul más el dorado.

Cabe destacar en la arquitectura moderna:
Le Corbusier consideró la naturaleza como encarnación de todo lo verdadero, bello, sano y original. Todo lo que llevó a cabo a lo largo de su vida giraba en torno a estos dos conceptos: naturaleza y geometría.

Elabora un sistema de medidas y proporciones cuya validez sería independiente de las diferentes convenciones en uso y que, sin esfuerzo podría trasladarse del sistema métrico a medidas anglosajonas. Este sistema lo llamó Modulor, palabra derivada de "módulo"(es decir, unidad de medida) y "section d´or" (sección de oro o sección áurea). El esquema fundamental del Modulor propone un denominador común de las dimensiones del hombre y de la
geometría elemental.
VILLA STEIN
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