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DISTRIBUCION DE WEIBULL

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on 12 March 2014

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DISTRIBUCION DE WEIBULL
Presentado por: Luis Gabriel Niño Pinto
HISTORIA
En la teoría de la probabilidad y la estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.
¿Por qué usamos Weibull?
¿Que obtenemos al aplicar el modelo de weibull?
Se obtiene la distribución de fallos del conjunto de donde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo al conjunto de componentes ensayados. Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntas
del tipo: ¿ Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿ Cuanto tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallen
el 1% durante ese periodo?. etc.
Descripción del modelo
La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico que representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del tiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta el
momento t.
Esta función de densidad viene dada por:
Propiedades de la distribución de weibull
EJEMPLOS
1) Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull con ? = 0.5 y = 0.01 . Calcular:

a. La vida media útil de ese artículo.
b. La variación de la vida útil.
c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas.
2) Si un granito rico en feldespato K, sufre procesos de erosión en la parte alta de una montaña transportando los clastos a una cuenca en la parte baja, donde finalmente se depositara. Si la vida útil del feldespato K es una variable aleatoria que tiene una distribución de weibull con alfa = 0.3 y Beta= 0.25, calculadas a partir de la distancia de la cuenca, la velocidad de transporte, como del medio de transporte y el tiempo. Calcular:
a) La vida media útil del feldespato.
b) La variación de la vida útil.
c) La probabilidad de que el feldespato K dure mas de 200 Horas;
Solucion
Se debe principalmente a la gran diversidad de formas que este modelo puede tomar, dependiendo de los valores de los
parámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo, independientemente de en que forma varíe la tasa de fallos del componente
estudiado, simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados.
I ) Si tomamos Beta = 1 tenemos una distribución Exponencial.
II) Su esperanza y su varianza vale: (Tomando que lambda es igual a alfa y alfa igual a beta según la notación que se lleva anteriormente.)
3) Suponiendo que la vida de servicio, en años, de una batería de un automovil es una variable aleatoria que tiene la distribución de Weibull con a = 1/2 y B = 2.

a) ¿Cuánto tiempo se puede esperar que tal batería que dure?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una batería de este dure mas de 2 años?
EJERCICIOS
1) Su ponga que tiene una distribución de weibull con Beta=0,2 y alfa=100 horas.
a) Determine la media y la varianza de X
b) P(X<10000)
c) p(X>5000)
2) Su ponga que el tiempo de vida util de un cojinete de rodillos sigue una distribucion de weibull con parametros beta=2 y alfa=10000 horas.
a) Determine la probabilidad de que la duracion del cojinete sea al menos de ocho mil horas.
b)Determine el tiempo medio de falla del cojinete

3) Suponga que la duración de un disco magnético empaquetado expuesto a gases corrosivos tiene y una distribución de weibull con beta= 0.5 y una vida media de 600 horas.
a) Calcule la probabilidad de que un disco empaquetado dure almenos 500 horas
b) calcule la probabilidad de que un disco empaquetado fall antes de 400 horas.
FIN
GRACIAS
4)El tiempo de duración de una bomba de recirculacion sigue una distribución weibull con parámetros beta=2 y alfa=700 horas.
a) Determine la vida media de la bomba
b) Determine la varianza del tiempo de duracion de la bomba.
c)¿Cual es la probabilidad de que la bomba trabaje mas alla de la vida media?
Como vemos, depende de dos parámetros: Alfa > 0 y Beta > 0, donde Alfa es un parámetro de escala y Beta es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo).
La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y vale: (Tomando que lambda es igual a alfa y alfa igual a beta según la notación que se lleva anteriormente)
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