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Stochastik in der Grundschule

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by

nancy gredel

on 18 September 2013

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Transcript of Stochastik in der Grundschule

Daten sind Informationen, die dem Menschen im alltäglichen Leben begegnen. Es werden dazu verschiedene Formen der Darstellung genutzt, z.B. Tabellen, Diagramme oder Grafiken.
Was ist mit dem Thema
Daten
gemeint?
Auch Schüler der Grundschule sollen in der Lage sein, diese Daten zu verarbeiten. Dazu ist es nötig, dass sie diese Diagramme lesen, verstehen und interpretieren können. Ebenso sollen sie selbst Daten strukturieren und übersichtlich darstellen können
Doch mit welchen Fragestellungen kann man Schüler dazu anregen?
Daten
,
Häufigkeit
und
Wahrscheinlichkeit

Stochastik in der Grundschule
Danach suchst du dir aus den Sorten (Erdbeere, Mango, Litschi, Lemon, Apfel, Orange) einen Sirup zum Verfeinern deines Getränks aus.
Warm up
In der Bubble-Tea-Bar kannst du schwarzen oder grünen Tee als Basis für deinen Bubble-Tea nutzen
Zum Schluss wählst du nun noch eine der fünf Bubble-Perlen aus (Kokos, Joghurt, Papaya, Kiwi, Ananas)
Wie viele verschiedene Bubble-Tea`s kannst du dir zusammenstellen?
Definition nach Kütting (1994, 21):
Was ist Wahrscheinlichkeit?
"Das aus dem Griechischen abgeleitete Wort Stochastik bedeutet soviel wie Vermutung (Mutmaßung) und wird in der Literatur vielfach als Sammelbegriff für Wahrscheinlichkeitsrechnung einschließlich kombinatorischer Grundfragen und Statistik benutzt."
Seit KMK 2004 in den Bildungsstandards verankert
Wie ist die Stochastik in der Grundschule verankert?
Kombinatorik
Stochastik
Statistik
Wahrscheinlichkeit
Eingebettet unter "
Daten
,
Häufigkeit
und
Wahrscheinlichkeit
"
Phänomen Zufall im Erfahrungsbereich der Grundschulkinder
Gründe für die Behandlung von Stochastik in der Grundschule
Verhinderung von fixierten Fehlauffassungen über Zufallsphänomene
Gute Differenzierungsmöglichkeit
"Die Kombinatorik befasst sich mit Fragestellungen der Art >>Wie viele Möglichkeiten gibt es eigentlich, ...?<< Dabei geht es um systematisches Abzählen von Möglichkeiten."
Definition nach Ulm (2009, 8):
Informationen, die dem Menschen im alltäglichen Leben begegnen
Was versteht man unter Daten?
Sie begegnen uns häufig in Form von Tabellen, Diagrammen und Schaubildern
z. B. Daten aus Umfragen, aus Naturbeobachtungen und aus Experimenten
Diagramme lesen, verstehen und interpretieren
Was sollen die Kinder im Bereich Daten lernen?
Selbst Daten strukturiert darstellen
Sammeln von Daten
Was besagt das Kerncurriculum?
Arten der Darstellung einer Klassensprecher Wahl
Mögliche Aufgabenstellungen
Durch den spielerischen Charakter des Arbeitens entsteht Motivation
"Wenn eine der Grundaufgaben allgemein bildender Schulen darin besteht, auf das Leben vorzubereiten und zur Erfassung der Wirklichkeit zu befähigen, dann kann man an dem Aspekt des - Zufalls im Leben - nicht vorbei gehen."
(Ulm 2009, 11)
Wie viele Mädchen und Jungen gibt es in der Klasse?
Wie alt sind die Kinder der Klasse?
Wie schwer sind eure Schulranzen?
Auch relevant für die Sek. 1: Natur- und Sozialwissenschaften
Ausblick
Schüler führen selbstständig kleinere Erhebungen durch und werten diese aus
Softwarenutzung für Diagrammerstellung
wissenschaftlichere Methoden zur Auswertung von Diagrammen
Wann habt ihr Geburtstag?
Wie würdet ihr im Bereich Daten differenzieren?
Definition nach Obadovics (1964, 213):
"Die Kombinatorik (Lehre von den möglichen Reihenfolgen, Anordnungen oder Kombinationen) behandelt die gesetzmäßige Anordnung von verschiedenen Elementen (Zahlen, Gegenständen usw.). Aufgabe der Kombinatorik ist es, die Gruppierungen der gegebenen Elemente nach bestimmten Gesetzen vorzunehmen und die Anzahl derselben zu ermitteln."
Erkenntnis: Der Weg ist das Ziel
Welchen Gewinn haben Kinder durch das Bearbeiten kombinatorischer Aufgaben?
Das Knobeln wird angeregt
Förderung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen
Strukturiertere Vorgehensweise
(vgl. Schipper 2009, 280 f.)
"Ziel ist es, ausgehend vom ersten noch sehr unsystematischen Finden
einzelner
Lösungen die Kinder allmählich hinzuführen zu systematischeren Vorgehensweisen, die es ihnen erlauben,
alle
Lösungen zu finden." (Schipper 2009, 281)
Der Weg von der unstrukturierten hin zur strukturierten Vorgehensweise
Am Ende der Grundschulzeit: Bei überschaubaren Aufgaben begründen können, warum es genau die Anzahl an Möglichkeiten gibt und nicht mehr!
Erkenntnisgewinn durch EIS-Prinzip
Fall 1: mit Reihenfolge ohne Wiederholung

Fall 2: mit Reihenfolge mit Wiederholung

Fall 3: ohne Reihenfolge ohne Wiederholung

Fall 4: ohne Reihenfolge mit Wiederholung
Erinnerungsstütze: 4 Fälle der Kombinatorik
Einstieg: Verschiedene Zweiertürme bauen aus vier verschiedenen Legosteinfarben
Systematisierung anhand einer Aufgabe
Bewusster Verzicht auf die Festlegung, ob auch zwei gleiche Farben in einem Turm benutzt werden dürfen
Arbeit in Kleingruppen: Die Kinder bauen Türme (Ist dies wirklich ein neuer Turm?)
Vorstellung der Ergebnisse: Gruppen ergänzen ggf. fehlende Türme (Klärung gleichfarbiger Türme)
Geordnete Darstellung der Lösungen
Systematisierung anhand einer Aufgabe
Diskussion über andere Formen der Darstellung
Schriftliche Dokumentation (Anfänglich farbig, später symbolische Darstellung)
Abschließendes Plakat als Musterlösung
Erste Variation: Veränderung der Anzahlen
Vorsicht: Rasanter Anstieg an Möglichkeiten bei Erweiterung der Legosteinfarben
Systematisierung anhand einer Aufgabe
Weitere Variation: Kontextveränderung
Beispiel: Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen kannst du mit den Ziffernkarten 1, 2, 3 und 4 legen?
Systematik mittels Baumdiagrammen herausarbeiten (Ursprungsaufgabe nochmals als Baumdiagramm darstellen)
Systematisierung anhand einer Aufgabe
Baumdiagramm nun als Werkzeug verfügbar, es können somit auch Aufgaben mit größeren Anzahlen bearbeitet werden
Lustige Figuren: Wie können sie aussehen?
Mögliche Aufgabenstellungen
Welche Möglichkeiten gibt es, die Kinder für ein Foto zu positionieren?
Du gehst in einen Eisladen. Dort gibt es ... Sorten. Du möchtest ... Eiskugeln kaufen. Die Sorten dürfen doppelt/ nicht doppelt vorkommen. Welche Eisbecher sind möglich und wie viele sind es insgesamt?
Menü-Aufgabe
Anhand der Aufgabe erkennen, ob es sich um Kombinationen mit/ ohne Wiederholung und mit/ ohne Reihenfolge handelt
Schwierigkeiten
Nicht bei jeder Aufgabe sind Baumdiagramme möglich, daher ausschließlich systematisches Probieren
Unsicherheiten, ob
alle
Möglichkeiten gefunden wurden
"Im täglichen Leben wird der Terminus >>wahrscheinlich<< häufig in dem Sinne gebraucht, dass ein Ereignis zwar nicht sicher eintritt, aber sein Eintreten doch erwartet wird" (Hasemann et al. 2007, 150)
1. Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace:
Fachlicher Hintergrund: 2 Zugänge zur Wahrscheinlichkeit
Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Quotienten aus der Anzahl der für das Ereignis
günstigen
Fälle und der Anzahl aller
möglichen
Fälle
2. Zugang über relative Häufigkeiten:
Gesetz der großen Zahlen: Bei wachsender Anzahl an Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner theoretischen Eintrittswahrscheinlichkeit
Keine Errechnung von Wahrscheinlichkeiten, sondern ein Grundverständnis des Phänomens >>Zufall<< erlangen
Was sollen Grundschüler in dem Bereich Wahrscheinlichkeit lernen?
Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten (Gewinnchancen) mit Hilfe von Fachbegriffen wie
sicher
,
sehr wahrscheinlich
,
unwahrscheinlich
,
möglich
und
unmöglich
... ein sicheres Ereignis ...
Definiert, was für euch ... ist!
... ein wahrscheinliches Ereignis ...
... ein mögliches Ereignis ...
... ein unmögliches Ereignis ...
Das Aquariumspiel
Wie kann das im Unterricht behandelt werden?
Abbildung von Murmelsäckchen
Die Wahrscheinlichkeitsskala
Geeignete Darstellungsformen zu wählen. Was soll mit der Grafik ausgesagt werden?
Mögliche Schwierigkeiten
Eine Untersuchung hat ergeben, dass Grundschüler in der Lage sind, Daten aus Grafiken abzulesen, jedoch nicht in der Lage sind, sie rechnerisch zu verarbeiten
Bedacht werden muss auch der Umgang mit Zeichenwerkzeugen
Benutzung der Fachbegriffe
Meilensteine beim Erwerb des Wahrscheinlichkeitsverständnisses
Anhand von geometrischen Eigenschaften Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung treffen können
Bei einfachen Zufallsexperimenten mithilfe der Kombinatorik Aussagen über günstige und alle möglichen Fälle treffen
erste Einsichten in das Gesetz der großen Zahlen
Würfelspiele (1 Würfel, Augensumme von 2 Würfeln, Würfel mit anderer Anzahl an Seiten)
Aufgaben und Materialien zum Experimentieren
Glücksräder
Murmelsäckchen
Münzen
Fokus nun auf Laplace-Wahrscheinlichkeit
Ausblick
Angaben der Wahrscheinlichkeiten in Bruch-, Dezimalbruch- und Prozentzahlen
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten
Wie könnte man im Bereich "Häufigkeiten" differenzieren?
Gruppenarbeit:

Findet euch in drei Gruppen zusammen und erkundet gemeinsam das Material!
Macht euch ggf. Notizen zu Vor- und Nachteilen einzelner Aufgaben/ Materialien!
Stochastik als themenübergreifender Bereich
Sachaufgaben
Geometrie
allgemeine mathematische Kompetenzen
Hasemann, K., Mirwald, E. & Hoffmann, A. (2007): Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit. In: Walther, G. et al. (Hrsg.): Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen
Literatur
Kütting, H. (1994): Didaktik der Stochastik. Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag
Schipper, W. (2009): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig: Schrödel
Wculek, A. (2009): >>Erstklässler können das!<<. In: Grundschulmagazin 2, 25-27
Ulm, V. (2009): Stochastik - Teil mathematischer Bildung. In: Grundschulmagazin 2, 8-11
Gasteiger, H. (2009): Wahrscheinlich unmöglich? In: Grundschulmagazin 2, 13-16
Ahrens, A. (2009): Glück oder Mathematik? In: Grundschulmagazin 2, 17- 20
Rechtsteiner-Merz, C. (2009): Heute versuchen wir unser Glück. In: Grundschulmagazin 2, 21-25
Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung (2008): Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Vorschläge für einen handlungsorientierten Mathematikunterricht in der Grundschule.
Im Internet unter
http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=31b0f23817963fcac6a2dffbcaedd381
[02.07.2012]
8 Kopiervorlagen zum Thema "Wahrscheinlichkeit.
Im Internet unter
http://www.oldenbourg.de/osv/download/pdf/kopiervorlagen_gs_mathe_wahrscheinlichkeit.pdf
[02.07.2012]
(vgl. Ulm 2009, 8)
(vgl. Schipper 2009, 276)
(vgl. Kütting 1994, 153)
(vgl. Ulm 2009, 8 ff.)
(vgl. ebd.)
(Niedersächsisches Kulturministerium 2006a, 31)
(vgl. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung 2008, o.S.)
(vgl. Hasemann et al. 2007, 148 & Wculek 2009, 27)
(vgl. Niedersächsisches Kulturministerium 2006b, 34)
(vgl. a.a.O. 281 f.)
(vgl. Kütting 1994, 136 f.)
(vgl. Schipper 2009, 281 ff.)
(vgl. ebd.)
(vgl. ebd.)
(vgl. ebd.)
(vgl. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung 2008, o.S. & Neubert 2001, 54)
(vgl. Hasemann et al. 2007, 151 f.)
(vgl. Ulm 2009, 8 ff. & Niedersächsisches Kulturministerium 2006a, 32)
(vgl. Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung 2008, o.S. & 8 Kopiervorlagen zum Thema "Wahrscheinlichkei" o.J., o.S.)
(vgl. Hasemann et al. 2007, 155 f.)
(vgl. Ahrens 2009, 17 ff.)
(vgl. Niedersächsisches Kulturministerium 2006b, 35)
"Einem zufälligen Ereignis A (z.B. Eintreten eines Versicherungsfalles) zugeordnete Zahl zwischen 0 und 1, die mit W(A) bezeichnet wird und die Chance des Eintretens dieses Ereignisses quantifiziert. Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten erfolgt im Rahmen der Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Additionssätze, Multiplikationssätze der Wahrscheinlichkeit); die numerische Festlegung von Wahrscheinlichkeiten geschieht nach Maßgabe verschiedener Wahrscheinlichkeitsauffassungen." (Gabler Wirtschaftslexikon o.J., o.S.)
Obadovics, J. (1964): Taschenbuch der Elementarmathematik. Leipzig: Teubner
Neubert, B. (2001): Möglichkeiten der Differenzierung bei der Arbeit mit kombinatorischen Aufgaben. In: Grundschulunterricht 11, 52-56
Niedersächsisches Kulturministerium (2006a): Kerncurriculum für die Grundschule Schuljahrgänge 1-4
Im Internet unter
http://db2.nibis.de/1db/cuvo/datei/kc_gs_mathe_nib.pdf
[02.07.2012]
Niedersächsisches Kulturministerium (2006b): Kerncurriculum für die Hauptschule Schuljahrgänge 5-10
Im Internet unter
http://db2.nibis.de/1db/cuvo/datei/kc_hs_mathe_nib.pdf
[02.07.2012]
Gabler Wirtschaftslexikon (o.J.): Wahrscheinlichkeit
Im Internet unter
http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Archiv/2070/wahrscheinlichkeit-v7.html
[02.07.2012]
Dankeschön :-)
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