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이차함수와 이차방정식 실생활에서 찾아보기

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sejin park

on 15 July 2015

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Transcript of 이차함수와 이차방정식 실생활에서 찾아보기

이차함수의 실생활
+이차방정식의 개념
이차방정식의 실생활
+이차함수의 개념
1. 이차방정식

+ 이차방정식의 개념

(1) 포물선 운동
(2) 분수
(3) 파라볼라 안테나
(4) 물체를 쏘아 올린 시간 구하기

2. 이차함수

+이차함수의 역사
+이차함수의 개념

(1) 포환의 최고점 구하기
(2)터널의 제한 높이 구하기
(3) 피자값 구하기
목차
(1) 포환의 최고점 구하기
(2) 터널의 제한 높이 구하기
이차방정식와 이차함수 실생활에서 찾아보기
지면에 비스듬하게 포탄을 발사했다고 가정하여 포탄의 최고점을 구하려면 먼저, 발사점을 원점으로 잡고 x, y좌표를 시간에 대한 함수로 표시하면 x = f(t), y = g(t) 이다. 그러므로 최고점에 위치할 때의 x, y좌표를 구하기 위해서는 최고점에서 y축방향의 속도가 '0'이므로 f′(t) = 0이 되는 시각을 찾으면 된다. 즉, 이차함수의 최대문제로 이차식의 꼭짓점이 최고점에서의 x,y 이다.
















[네이버 지식백과] 이차함수의 최대최소 (통합논술 개념어 사전, 2007. 12. 15., 청서출판)

QUIZ!?
(1)포물선운동
(4)물체를 쏘아 올린 시간 구하기
지면에서 위로 똑바로 쏘아 올린 물체의 t초 후 높이가 지면으로부터 ( 40t - 8t^2 )m 으로 가정하고 이 물체의 높이가 32m 일때 몇 초 후인지 구하려면
먼저, 40t - 8t^2 = 32 라는 식을 세우고 이 식을 인수분해 하면 ( t - 1 )( t - 4) = 0가 된다. 그러므로 t =1 또는 t = 4 이다. 이로써 높이가 32m 일 때는 1초와 4초이다.


문제) 지면으로부터 20m의 높이에서 초속 50m로 쏘아올린 물체의 x초 후의 높이는 라고 한다. 이 물체의 높이가 125m에 두 번째로 도달하는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후 일까?
김민주 김민하 박세진 유지원
06 07 15 25

이차방정식
이란?

- ax^2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0, a, b, c는 상수 ) 꼴로 변형할 수 있는 방정 식을 x에 대한
이차방정식
이라 한다.

- 이차방정식을 풀수 있는 방법은 2가지이다.

[방법1] 인수분해에 의한 풀이
( ax - b )( cx - d)= 0 이면 x = b/a 또는 x = d/c

[방법2] 근의 공식에 의한 풀이
이차함수
란?

- 함수 f(x) 가 x에 대한 이차식으로 나타내어질 때,


f(x) = ax^2+bx+c (a ≠ 0 )
일 때,

y=f(x) 를 x에 대한
이차함수

한다.

- 이차함수의 그래프를 표현한 식.

(1) 기본형 → y = ax^2 (a ≠ 0)
a>0 이면 아래로 볼록한 포물선이고 a<0 이면 위로 볼록한 포물선이다.

(2) 표준형 → y = a(x-m)^2 (a ≠ 0)
기본형을 x축의 방향으로 m만큼 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한
그래프이다.

이미지 출처/ http://cafe.naver.com/story77/5440047
출처/
QUIZ!?
이차함수 형태의 '지원터널'이 있다. 터널의 폭은 총 15m이고
중앙의 높이는 10m이다.
트레일러가 지나가는데 반드시 2차선을 이용해야만 한다.
높이 몇 m의 트레일러까지 통과하도록 제한해야 하는가의 문제이다.
이차함수형태이므로 도로의 중앙부분을 원점으로 잡으면 2차선의
오른쪽 끝부분으로 트레일러가 통과할 때도 터널에 걸리지 않게 높이 제한을
해야 한다.
이차함수식은 y = a(x - 7.5)(x + 7.5)로 놓을 수 있다.
중앙에서의 높이가 10m이므로 이다.
이 때 트레일러가 통과하기 위해서는 x = 2.5에서의
터널의 높이보다 트레일러의 높이가 낮아야 한다.
그러므로 8.9m이상의 트레일러는 이용을 제한해야 한다.
우리가 무언가를 던질 때, 그 물체는 포물선 모양으로 땅에 떨어진다. 이를 떨어지거나 상승하는 물체의
초당 높이 계산

탄도 계산
등에 이용 할 수 있다
(2)분수
분수는 포물선 운동의 대표적인 예료, 포물선을 계산하여 분수의 범위를 정해 물이 일정 공간 밖으로 나가지 않도록 한다
(3)파라볼라 안테나
포물선의 축에 평행한 빛이 들어오면 모두 한점으로 모인다.
이점을 포물선의 초점 이라고 한다.
파라볼라 안테나는 이점을 이용한 대표적인 예로, 약한 전파도 받을 수 있으므로 멀리서 오는 전파를 받을 때 유리하다.
15세기까지 사람들은 비스듬이 발사된 물체는 발사된 방향으로 날아가다가 일정 시간 후에 수직으로 낙하한다고 생각하였다.
타르탈리아
(Tartaglia,N.F.;1499~1557)포탄이 발사된 방향으로 날아가다가 수직으로 툭 떨어지는 것이 아니라 곡선을 그리며 움직인다는 것과 발사각의 크기가 45` 일때 가장 멀리 날아간다는 것을 알아내었다.
그러나 타르탈리아는 발사된 물체가 왜 그와 같은 곡선을 그리며 날아가는지 알지 못하였다. 발사된 물체가 그리는 곡선이 포물선임을 밝힌 사람은
갈릴레이
(1564~1642) 이다.
훗날
뉴턴
(1642 ~ 1727) 은 중력의 개념을 바탕으로 비스듬히 던져진 물체의 높이와 시간의 관계를 나타내는 이차함수의 식을 구하였다.
이차함수의 역사

(3) 피자값 구하기
우리가 흔히 먹는 피자에 대해서도
이차함수의 관계
가 나타나 있다.
피자가게 주인이 피자 값을 정하려 한다. 아무래도 피자값은 피자의 넓이에 비례하므로 자연스럽게 피자 값은 피자의 지름의 제곱에 비례하게 된다. 결국 피자 값과 피자의 지름 사이엔 이차함수의 관계가 성립하게 된다.
문제) 발사된 물체가 그리는 곡선이 포물선임을 밝힌 사람은 ?
풀이) x초 후의 높이가 h=-5x^2+50x+20 일 때, 높이가 125이므로 -5x^2+50x+20=125, (x-3)(x-7)=0, x=3 또는 x=7 이므로 두번째 125m가 되는 것은 7초 후 입니다.
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