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METODOLOGIA DE BOX-JENKINS

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by

Guadalupe Lizzette Soriano Elias

on 11 September 2013

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METODOLOGIA DE BOX-JENKINS
PRESENTADO POR:
SORIANO ELIAS, GUADALUPE LIZZETTE
URBINA MAJANO, DIANA BEATRIZ

DEFINICION

La metodología Box-Jenkins se refiere a una serie de procedimientos para identificar, ajustar y verificar los modelos de promedio móvil autorregresivo (más conocido por sus siglas en inglés ARIMA) con los datos de serie de tiempo. Los pronósticos proceden directamente de la forma del modelo ajustado, y es distinta de la mayoría de los métodos debido a que no supone un patrón particular en los datos históricos de las series que han de pronosticarse
ARIMA(Modelos Autorregresivos Integrados de Medias Móviles)
Si la variable endógena de un período t es explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a períodos anteriores añadiéndose, como en los modelos estructurales, un término de error.

¿EN QUE CONSISTE?
Usa un método iterativo para identificar un modelo posible de una clase general de modelos. Enseguida, el modelo seleccionado se ajusta correctamente si los residuales son pequeños, están distribuidos aleatoriamente y no contienen información útil. Si el modelo especificado no es satisfactorio, el proceso se repite mediante un nuevo modelo diseñado para mejorar el original. Se sigue aplicando hasta que se encuentra un procedimiento satisfactorio.

PASOS DEL METODO
PASO 1: identificación del modelo

El primer paso en la identificación del modelo es determinar si la serie es estacionaria; es decir, si la serie de tiempo aparenta variar alrededor de un nivel fijo. Si la serie no es estacionaria con frecuencia puede convertirse en una serie estacionaria al tomar sus diferencias.

Una vez que se ha obtenido una serie estacionaria, el analista debe identificar la forma del modelo que habrá que utilizar.

Paso 2: estimación de modelos.

Una vez se ha seleccionado un modelo tentativo, deberán estimarse los parámetros para dicho modelo.

Además se calcula el error cuadrado medio de los residuales, un estimado de la varianza del error.
Paso 3: evaluación del modelo

Muchas de las graficas de los residuales que son útiles para el análisis de regresión pueden desarrollarse para los residuales de un modelo ARIMA.
Las autocorrelaciones residuales individuales deberán ser pequeñas y, por lo general, estar dentro de cero. Las autocorrelaciones residuales significativas en retrasos cortos o estacionales sugieren que el modelo no es adecuado y que se debe elegir un modelo nuevo o modificado.
Como un grupo, las autocorrelaciones residuales deberán ser coherentes con aquellas producidas por los errores aleatorios.

Paso 4: realización del pronóstico

Después de que se ha encontrado un modelo adecuado, se pueden llevar a cabo los pronósticos para un periodo, o varios, en el futuro. También pueden construirse intervalos de predicciones con base en los pronósticos.

A medida que se tienen más datos disponibles, se puede usar el mismo modelo ARIMA para generar pronósticos revisados que procedan de otro origen de tiempo.

Si el patrón de la serie parece cambiar con el tiempo, los nuevos datos podrían usarse para volver a estimar los parámetros del modelo o de ser necesario, desarrollar un modelo completamente nuevo.

CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE UN MODELO
Si los modelos contienen el mismo número de parámetros, se preferirá el modelo con el error cuadrado más pequeño.

Si los modelos contienen distintos números de parámetros, el principio de parsimonia conduce a la selección del modelo más sencillo. No obstante, es posible que el modelo con más parámetros tenga un error cuadrado medio apreciablemente más pequeño.

Se ha desarrollado una metodología para la selección de los modelos que considera el ajuste del modelo y el número de parámetros

El criterio de la información de Akaike, o AIC, es seleccionar el mejor modelo de un grupo de modelos candidatos como aquel que minimiza


Donde
Ln=el logaritmo natural
=la suma de cuadrados de los residuales dividida entre el numero de las observaciones
n=el numero de las observaciones (residuales)
r= el número total de los parámetros (mas el termino constante) en el modelo ARIMA.


El criterio bayesiano que desarrollo Schwarz o BIC. Selecciona el modelo que minimiza



El segundo termino en AIC y en BIC es un “factor de castigo” por incluir parámetros adicionales en el modelo. Debido a que el criterio BIC impone un castigo mayor por el número de parámetros que el criterio AIC, el uso de un BIC mínimo para la selección del modelo resultara en un modelo cuyo número de parámetros no es mayor que los escogidos por AIC. Con frecuencia, los dos criterios producen el mismo resultado.


APLICACIÓN
promedios de cierre del Índice de Transportación enla bolsa Down Jones de New York
Paso 1: identificar el modelo para determinar si la serie es estacionaria; es decir, si la serie de tiempo aparenta variar alrededor de un nivel fijo.

Revisión de la gráfica de autocorrelaciones de la muestra.
Se decidió diferenciar los datos para ver si podía eliminar la tendencia y crear una serie estacionaria. Una gráfica de los datos diferenciados parece variar en torno a un nivel fijo.

Se procede a crear la gráfica de autocorrelacion para dichos datos.
Y también la grafica de autocorrelaciones parciales de los mismos.
Al comparar las autocorrelaciones con sus límites de error, la única autocorrelacion significativa fue el retraso 1. De manera semejante, únicamente la autocorrelacion parcial del retraso 1 fue significativa. Aparentemente las autocorrelaciones se cortan después del retraso 1, lo cual indica una conducta MA(1). Asimismo, parece que las autocorrelaciones parciales se cortan después del retraso 1, lo cual indica una conducta tipo AR(1). Al parecer, ninguno de los patrones se desvanece de manera suave en los retrasos cortos. Lynn decidió ajustar los modelos ARIMA (1,1,0) y ARIMA (0,1,1) AL Índice de Transportación. También, determino incluir un término constante en cada modelo puesto que la serie de diferencias parece variar torno a un nivel mayor que cero. Si denota al Índice de Transportación, entonces la serie diferenciada es y los modelos son:

Paso 2: estimacion del modelo en este caso en el programa minitab

RESULTADOS DEL MODELO ARIMA (1,1,0) EN MINITAB
Final Estimates of Parameters
 
Type Coef SE Coef T P
AR 1 0.2844 0.1221 2.33 0.023
Constant 0.7408 0.2351 3.15 0.003
 
Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 65, after differencing 64
Residuals: SS = 219.223 (backforecasts excluded)
MS = 3.536 DF = 62
 
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
 
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 11.8 29.1 37.1 48.1
DF 10 22 34 46
P-Value 0.297 0.141 0.328 0.389
 
Forecasts from period 65
 
95 Percent
Limits
Period Forecast Lower Upper Actual
66 289.948 286.262 293.634
67 291.081 285.080 297.081

RESULTADOS DEL MODELO ARIMA (0,1,1) EN MINITAB
Final Estimates of Parameters
 
Type Coef SE Coef T P
MA 1 -0.2913 0.1226 -2.38 0.021
Constant 1.0381 0.3035 3.42 0.001
 
Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 65, after differencing 64
Residuals: SS = 219.347 (backforecasts excluded)
MS = 3.538 DF = 62
 
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
 
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 11.6 32.0 41.0 51.4
DF 10 22 34 46
P-Value 0.310 0.077 0.189 0.270
 
Forecasts from period 65
 
95 Percent
Limits
Period Forecast Lower Upper Actual
66 290.053 286.366 293.740
67 291.091 285.069 297.113

Paso 3: evaluacion del modelo
A continuación se muestran las autocorrelaciones residuales para el modelo ARIMA(1,1,0) y ARIMA(0,1,1):

Paso 4: Realización del pronostico con el modelo

Las graficas muestran que no hay una autocorrelacion residual significativa para el ninguno de los dos modelos; y los mínimos cuadrados residuales que muestran los resultados no son tampoco significativos

RESULTADOS DEL MODELO ARIMA (1,1,0) EN MINITAB = 3.536
RESULTADOS DEL MODELO ARIMA (0,1,1) EN MINITAB=3.538
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