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Área bajo una curva: Sumas superiores e inferiores asociadas

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Ismael arribas

on 12 April 2016

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Transcript of Área bajo una curva: Sumas superiores e inferiores asociadas

Ejemplo
Calcula el volumen generado por la función f(x) = x/3 cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [3, 9]
Cuando el trapecio gira alrededor del eje X genera un tronco de cono

Volumen =
Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], con f(x)> 0 para todo x en [a, b], y que R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Divida el intervalo [a, b] en n sub-intervalos, cada uno de la longitud Δx , y denote el i-ésimo sub-intervalo por [a,b ]. Entonces si f (x) es el valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo sub-intervalo.

La medida del área de la región R está dada por:


Esta ecuación significa que para cualquier є > 0 existe un número N>0 tal que si n es un numero entero positivo y si n > N entonces:
( 2. 3 -1)



Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

gráfica

La integral definida se representa por :

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Trabajo integral definida
Área bajo una curva: Sumas superiores e inferiores asociadas a una partición
Definición de integral definida
Aplicaciones de la integral definida:
Teorema del valor medio del cálculo integral
Regla de Barrow para el cálculo de integrales definidas
La suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos.
Consideremos lo siguiente:

una función f:[D]\{R}
donde D es un subconjunto de los números reales \{R}
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Para hallar el volumen de un cuerpo de revolución que se obtiene al girar la
función f(x) sobre el eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula:
Volumen de figuras de revolución
Área bajo una curva
Si f es una función continua en el intervalo [a; b], entonces existe en éste un punto alfa (a) tal que se verifique la siguiente igualdad:

-

Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una función f tal que:

-

Para todos los valores de x en el intervalo [a; b].

Entonces:

-

Es el área de la región limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas con ecuaciones x = a; x= b






Establece que existe un número a (a) en [a; b] tal que el área del rectángulo a Q S b, cuya altura es f (a) y que tiene ancho de (b - a) unidades, es igual al área de la región a P R b.

El valor de alfa no es necesariamente único

Aunque el teorema no establece un método para determinar alfa, sí garantiza que existe un valor de alfa, lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.
Quedará definida con la siguiente expresion:
La regla de Barrow
dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplo:
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