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Integración Numérica

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by

Brenda Guevara

on 3 July 2014

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Transcript of Integración Numérica

Integración de Romberg
Conclusiones y Recomendaciones
Cuadratura de Gauss
Introducción
Marzo - Julio 2014
Riobamba
.
Integrantes:
Denise Insuasti
Ana Mantilla
Jéssica Velásquez
CUADRATURA DE GAUSS
CONCLUSIONES
Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada, o un conjunto de datos tabulares, con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.
Métodos Numéricos
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
4to Semestre "A"
INTEGRACIÓN DE ROMBERG

MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Considerando la integral
DESARROLLO DE LA FÓRMULA DE GAUSS-LEGENDRE DE DOS PUNTOS
FÓRMULAS CON MÁS PUNTOS
Fórmulas de Integración de Newton-Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio.
Introducción
Facultad de Informática y Electrónica
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
Ingeniería en Control y Redes Industriales
Brenda Guevara
Edwin Espinoza
Laura Redrobán
Códigos
402
514
543
396
297
406
Docente:
Dra. Miriam Ortega
Tema:
Integración Numérica
Subtemas:
donde fn(x) es un polinomio de la forma:
a) Polinomio de primer grado como una aproximación
b) Parábola como una aproximación
Integración Numérica
Integración de Romberg
Cuadratura de Gauss
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados.
Estos métodos aprovechan la posibilidad de generar valores de la función para desarrollar esquemas eficientes para la integración numérica.
EL ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Hay técnicas de corrección del error para mejorar los resultados de la integración numérica, dichos métodos usan dos estimaciones de una integral para calcular una tercera más exacta y, en general, se les conoce como
extrapolación de Richardson.
EXTRAPOLACIÓN DE
RICHARDSON
En el caso especial donde las estimaciones originales con la regla del trapecio se basan en la división sucesiva de la mitad del tamaño de paso, la ecuación usada para una exactitud es:
donde Im e IL son las estimaciones mayor y menor, respectivamente.
De manera similar, dos resultados se combinan para calcular una integral que es utilizando:
Consiste en ir haciendo segmentos entre mas pequeños sean mas se va aproximando al área bajo la curva de una función.
Ejemplo :
Dada la función


las aplicaciones simples y múltiples de la regla del trapecio dieron los siguientes resultados:
Use esta información para calcular mejores estimaciones
de la integral.
Usar el metodo de romberg para aproximar la integral :
Ejemplo :
usando los segmentos de longitud:
La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente.
Para n=0 se tiene
y se aproxima usando la regla de cuadratura guassiana tomando como nodos los ceros del polinomio de grado n+1 de la familia de Legendre, el error que se produce esta dado por:
El método de coeficientes indeterminados ofrece un tercer procedimiento que también tiene utilidad para encontrar otras técnicas de integración, como la cuadratura de Gauss.
Al sustituir valores
Fórmula de Gauss-Legendre
Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los límites de integración a [-1, 1]
Ejemplo :
El valor exacto de la integral con 7 cifras decimales es 0.1093643
Ejemplo :
Evalue la siguiente integral utilizando las formulas de cuadratura de gauss legendre con dos puntos
ANÁLISIS DE ERROR EN LA CUADRATURA DE GAUSS
Las formulas correspondientes a las reglas de uno y dos puntos resultan ser:
Para n=1 queda
RECOMENDACIONES
 Mediante el conocimiento de este método se ha podido obtener una buena aproximación de cada una de las integrales.

 En la práctica de la ingeniería, la cuadratura de Gauss proporciona un medio eficiente para la evaluación de las integrales
 La información brindada sirvió para tener un mejor juicio del método de Romberg y Curvatura de Gauss
 Una comparación indica la superioridad de la cuadratura de Gauss respecto a las fórmulas de Newton-Cotes, En algunas situaciones se da el caso caso donde las fórmulas de Gauss-Legendre tienen un desempeño pobre. En tales situaciones, se prefieren la regla integración de Romberg.

 Al conocer las particularidades de cada método se puede decir que como la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de la función en puntos irregularmente espaciados dentro del intervalo de integración, no es apropiada para los casos donde la función no se conoce.
GRACIAS POR SU ATENCIÓN..!
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