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Algoritmo de Levenberg Marquardt

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Hildegardo Santana Bejarano

on 10 December 2012

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Proyecto Final
Métodos Numéricos
Hildegardo Santana Bejarano Algoritmo de Levenberg-Marquardt
El algoritmo L-M es una modificación al método de Gauss-Newton en las ecuaciones normales que perturba ligeramente la diagonal. Este cambio conlleva a una mejora en la estabilidad del L-M que no presenta el G-N. A continuación describiremos el método con un poco más de detalle. Método El L-M es un algoritmo de optimización que provee una solución numérica al problema de minimizar una función, generalmente, no lineal dentro de un espacio de parámetros de la función. Dichos problemas de minimización aparecen, especialmente, al ajustar mínimos cuadrados lineales y no lineales.

El L-M interpola entre el algortimo de G-N y un descenso de gradiente. LM es mas robusto que el G-N por esta modificación. Escencialmente,
el algoritmo se comporta como un descenso de gradiente lejos de la solución y como un G-N cerca de ésta.

El secreto del LM es alterar la diagonal de la matriz cuadrada del producto de Jacobianos en las ecuaciones normales del G-N. Hay varias maneras de resolver las ecuaciones normales. Para ello usamos el método iterativo de Gauss-Seidel.

Adicionalmente, es una buena idea comprobar que la solución de las ecuaciones normales si mejora el punto donde nos encontramos. Si no es así, entonces podemos hacer un backtracking sobre el parámetro que multiplica a la identidad hasta que obtengamos una mejora. Resultados Se generaron datos sintéticos a partir de la función:

f(x) = a cos bx + b sin ax (1)

donde a y b son los parámetros por determinar (tomados inicialmente como a = 100 y b = 102)
y tomamos x={0, 0.1, ..., 6.2}.
En la siguiente figura se observan dichos datos. Datos generados a partir de la función f y x, tomando a=100 y b=102. A estos datos sintético les aplicamos ruido. Y aplicamos L-M a estos nuevos datos. Resulta que obtenemos que a=100.101 y b=101.861. Con estos parámetros estimados hacemos una nueva gráfica. Introducción Conclusiones El L-M ofrece una atractiva solución al problema de mínimos cuadrados lineales y no lineales. La mejora de la perturbación en las ecuaciones normales, el uso de Gauss-Seidel como solver de éstas y el uso de un backtracking sobre el parámetro de variación en la diagonal de JT*J mostraron ser eficientes en la práctica.

Un detalle importante a recalcar es el hecho de que el L-M no es todo poderoso. Dicho algoritmo no se puede extender a optimización con restricciones cuando éstas son no lineales. Además, el L-M resulta inservible cuando la dimensión es alta. Esto se debe a que calcular el producto JT*J resulta incosteable.

A continuación se muestra la ambas gráficas en una misma imagen, notando que la solución se ajusta de manera esperada a los datos generados comprobando así la funcionalidad del L-M.
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