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lezione LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Presentazione TFA Gruppo B
by

ROBERTA BIAGI

on 30 March 2016

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Transcript of lezione LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

In matematica un uguaglianza e' un uguale fra due enti
cioè
1 + 1 = 2
125 + 250 = 375
AB + BC = AC
a + a + 3a + 2a = 2a + 5a


UGUAGLIANZE
THE
END

SOLUZIONE
COM'E' FATTA
UN' EQUAZIONE?
ESISTONO 2 TIPI DI UGUAGLIANZE:
COME SI ARRIVA ALLA
SOLUZIONE

DI
UN' EQUAZIONE?
Sono proposizioni matematiche in cui due espressioni letterali sono legate tra loro dal simbolo di uguaglianza
=
a + a = 2a
a - a = 0
Questa uguaglianza è VERA qualunque
valore assegniamo ad
a
Questo tipo di uguaglianze viene chiamato
IDENTITA'
x - 7 = 20
x : 6 = 6
x+ 5=8
Questa uguaglianza e' vera

SOLO PER DETERMINATI
valori di X
Questo tipo di identità viene chiamato
EQUAZIONE
L' IDENTITA'
è un' uguaglianza

fra due espressioni (almeno una letterale)
vera
per qualsiasi valore dato alle lettere che vi compaiono
L' EQUAZIONE
è un'uguaglianza fra 2 espressioni (almeno una letterale)
VERA
solo per determinati valori dati alle lettere che vi compaiono
TERMINOLOGIA
QUESTA E' UNA
EQUAZIONE

6x - 2 = 3x + 4
COME

SI CHIAMANO LE ESPRESSIONI CHE COMPONGONO L' EQUAZIONE ?
6x - 2
=
3x + 4
1° membro
2° membro
6
x
-
2
= 3
x
+
4
TERMINI NOTI
INCOGNITE
LE EQUAZIONI POSSONO ESSERE :


A UNA , A DUE A TRE O PIU'
INCOGNITE

8
x
- 6 = 5
x
+ 6 a UNA INCOGNITA (
x
)

8
x
- 6
y
= 5
x
+ 6 a DUE INCOGNITE (
x
,
y
)

8
x
- 6
y
= 5
x
+ 6
z
a TRE INCOGNITE (
x
,
y,

z
)


DI PRIMO, DI SECONDO , DI TERZO GRADO E SUPERIORI AL TERZO GRADO.

8x - 6 = 5x + 6 EQUAZIONE DI
PRIMO GRADO

8x

- 6 = 5y + 6 EQUAZIONE DI
SECONDO GRADO


8x - 6 = 5y + 6 EQUAZIONE DI
TERZO GRADO
2
3
2

INCOGNITA SOLO AL NUMERATORE

8x + 3y = 2x -5
INCOGNITA AL DENOMINATORE
+ 5y = 5x- 6
_
x
7
COS' E'
LA SOLUZIONE
DI UNA EQUAZIONE
RISOLVERE UN' EQUAZIONE VUOL DIRE TROVARE IL VALORE CHE VERIFICA L' UGUAGLIANZA TRA IL
PRIMO MEMBRO
E IL
SECONDO MEMBRO
DELL' EQUAZIONE
QUESTO VALORE PRENDE IL NOME DI
SOLUZIONE
QUINDI:
LA
SOLUZIONE O RADICE DI UN' EQUAZIONE
E' IL VALORE CHE SOSTITUITO ALL' INCOGNITA RENDE VERA L' UGUAGLIANZA TRA IL PRIMO E IL SECONDO MEMBRO
LA SOLUZIONE DI UN' EQUAZIONE VIENE ANCHE CHIAMATA
RADICE
IN BASE A QUANTE SOLUZIONI O RADICI HA, UNA EQUAZIONE PUO' ESSERE :

EQUAZIONE DETERMINATA

EQUAZIONE INDETERMINATA

EQUAZIONE IMPOSSIBILE
EQUAZIONE DETERMINATA

UNA EQUAZIONE SI DICE DETERMINATA QUANDO HA UN
NUMERO DEFINITO
DI SOLUZIONI

3 x = 12
L' UNICO VALORE CHE RENDE VERA L' UGUAGLIANZA E'

X = 4

SOLO SE SOSTITUISCO 4 ALLA X IL PRIMO MEMBRO E' UGUALE AL SECONDO MEMBRO.
EQUAZIONE INDETERMINATA

UNA EQUAZIONE SI DICE I
NDETERMINATA
QUANDO HA UN NUMERO INFINITO DI SOLUZIONI

X + 5 = X + 5

L' EGUAGLIANZA E' VERA PER
QUALSIASI VALORE
DO
ALLA X

X = 2 ; X = 3 ; X = 12 ; ETC

S
OSTITUENDO QUALSIASI NUMERO ALLA X IL PRIMO MEMBRO E' SEMPRE UGUALE AL SECONDO MEMBRO

LE EQUAZIONI INDETERMINATE POSSONO ESSERE CHIAMETE ANCHE
IDENTITA'
EQUAZIONE IMPOSSIBILE

UNA EQUAZIONE SI DICE
IMPOSSIBILE
QUANDO NON HA
NESSUNA SOLUZIONE
POSSIBILE

x + 6 = x
x - x = - 6 ; 0 = - 6

UN NUMERO NON PUO' ESSERE UGUALE A 0


E' IMPOSSIBILE TROVARE UN NUMERO CHE SOSTITUITO ALLA X RENDA IL PRIMO MEMBRO UGUALE AL SECONDO MEMBRO
PER TROVARE LA SOLUZIONE DI
UN' EQUAZIONE DOBBIAMO

RISOLVERE L' EQUAZIONE
DUE EQUAZIONI SI DICONO
EQUIVALENTI
SE HANNO LE
STESSE SOLUZIONI
PER RISOLVERE UN' EQUAZIONE BISOGNA TRASFORMARLA IN UNA

EQUAZIONE EQUIVALENTE


CIOE' LA STESSA EQUAZIONE DOBBIAMO SCRIVERLA IN MODO PIU' SEMPLICE
PER QUESTO BISOGNA CONOSCERE E APPLICARE

I PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Se si addiziona o sottrae ad entrambi i membri una stessa espressione o uno stesso numero, si ottiene un'equazione equivalente.

I membro = II membro
equivalente
I membro + = II membro +

2x + 4 = 12
equivale a
2x + 4 +
- 3
= 12 +
- 3
equivale a
2x + 4 +
- 4x
= 12 +
- 4x

LE TRE EQUAZIONI SONO EQUIVALENTI ED HANNO LA STESSA SOLUZIONE
Se si moltiplicano o si dividono i due membri per una stessa espressione o uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente.

I membro = II membro
equivalente


I membro :
=
II membro :

2x -10 = 20
equivale a

2

( 2x - 10 ) = ( 20 )

2

equivale a

( 2x - 10 )
: 5

= 20

: 5

LE TRE EQUAZIONI SONO EQUIVALENTI ED HANNO LA STESSA SOLUZIONE
IN BASE AL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA :

SI PUO' TRASPORTARE UN TERMINE DA UN MEMBRO ALL'ALTRO
CAMBIANDO
IL SUO SEGNO ,SI OTTIENE UN'EQUAZIONE EQUIVALENTE
(
regola del trasporto

)

4x + 3 = 15

equivale a

4x = 15 - 3
IN BASE AL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

TERMINI UGUALI PRESENTI AL PRIMO E AL SECONDO MEMBRO DI UNA EQUAZIONE SI POSSONO
ELIMINARE
(
regola cancellazione
)
10x
- 5
+ 3 = 8x + 8
- 5
equivale a

10x + 3 = 8x + 8
IN BASE AL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Cambiando i segni di tutti i termini in entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente
.
(MOLTIPLICANDO PRIMO E SECONDO MEMBRO PER -1 ) SI OTTIENE UNA EQUAZIONE EQUIVALENTE

5x - 3 = 2x + 4
-1 ( 5x - 3 ) = -1 ( 2x + 4 )
equivale a

- 5x + 3 = - 2x - 4
IN BASE AL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si dividono tutti i termini per un numero, si ottiene un'equazione equivalente
.
DA CIO' RICAVIAMO CHE IN UN' EQUAZIONE IN CUI CI SIANO DELLE FRAZIONI, MOLTIPLICANDO PRIMO E SECONDO MEMBRO PER UN NUMERO CHE E' IL
MINIMO COMUNE MULTIPLO
DEI DENOMINATORI SI OTTIENE UNA EQUAZIONE EQUIVALENTE MA INTERA CIOE' SENZA FRAZIONI

4 + ( 2 / 3) x - 5 = ( x - 2 ) / 2
m.c.m. ( 3 , 2 ) = 6

6
[ 4 + ( 2 / 3) x - 5 ] =
6
( x - 2 ) / 2

24 + 4x - 30 = 3 x + 6

EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DI PARTENZA MA SENZA FRAZIONI CIOE'
INTERA
RISOLVERE LA EQUAZIONE SIGNIFICA TROVARE TUTTE LE SOLUZIONI POSSIBILI
E PER FARE QUESTO SI DEVONO APPLICARE

I PRINCIPI DI EQUIVALENZA
TEST DI VERIFICA SULLE EQUAZIONI
CREATO CON QUIZ FABER

Se a,b =0 le soluzioni
sono infinite
0x =0
Equazione impossibile
Se a=0,b ≠0
Soluzione nessuna
a x = b
Se a ≠0 e b=0
la soluzione
è x=0/a
Equazione indeterminata
Equazione determinata
Se a,b ≠0
la soluzione
è x = b/a
Si determina la
Soluzione
x = b/a
Si eseguono le addizioni
algebriche ottenute al primo e
al secondo membro in modo
tale da ottenere l’equazione
in forma normale.
Si trasportano tutti i termini in x
al primo membro e tutti i termini
noti al secondo membro tenendo
presente la legge del trasporto.
Se l’equazione è a termini
frazionari si riduce in forma
intera moltiplicando tutti i
suoi termini per il m.c.m.
Si eliminano le parentesi
Eseguendo le operazioni
Indicate secondo le regole
del calcolo letterale
EQUAZIONI DI
I GRADO

Se a,b =0 le soluzioni
sono infinite
0x =0
Equazione impossibile
Se a=0,b ≠0
Soluzione nessuna
a x = b
Se a ≠0 e b=0
la soluzione
è x=0/a
Equazione indeterminata
Equazione determinata
Se a,b ≠0
la soluzione
è x = b/a
Si determina la
Soluzione
x = b/a
Si eseguono le addizioni
algebriche ottenute al primo e
al secondo membro in modo
tale da ottenere l’equazione
in forma normale.
Si trasportano tutti i termini in x
al primo membro e tutti i termini
noti al secondo membro tenendo
presente la legge del trasporto.
Se l’equazione è a termini
frazionari si riduce in forma
intera moltiplicando tutti i
suoi termini per il m.c.m.
Si eliminano le parentesi
Eseguendo le operazioni
Indicate secondo le regole
del calcolo letterale
EQUAZIONI DI
I GRADO
Mappa Concettuale
creata con Cmap

Esercitazione
con la LIM
Regola importante:
se un'uguaglianza e' VERA si comporta come una bilancia a 2 piatti: quello che c'e' su un piatto deve variare come quello che c'e' sull'altro piatto altrimenti la bilancia non e' piu' in equilibrio e l'uguaglianza non e' piu' valida
IDENTITA' E EQUAZIONI
Numerica
EQUAZIONE INTERA
EQUAZIONE FRAZIONARIA
presentano solo coefficienti numerici
Letterale
presentano una o più lettere oltre all'incognita
Primo principio di equivalenza
Il Primo Principio ha due Regole
Trasporto
Cancellazione
Secondo Principio di Equivalenza
Divisione per un fattore comune divrso da 0
Regole Pratiche derivanti dal II Principio di Equivalenza
Cambiamento di segno
Determinata
Indeterminata
Considerando le Soluzioni un'Equazione è:
Impossibile
X= 0; 1; 2; 6; 9..
0= 0; 2=2; 6=6; 9= 9..
Nessuna soluzione..
Equazione Intera
Diversi tipi di Equazioni
incognita solo al numeratore
Equazione Fratta
incognita al denominatore
Full transcript