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Método de Euler

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Alejandra Díaz

on 13 December 2012

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Transcript of Método de Euler

MÉTODO DE EULER Métodos para la serie de Taylor de orden superior
¿Qué es una ecuación diferencial? Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un 'error de truncamiento local' que resulta de una aplicación de método considerado, en un solo paso. La segunda en un 'error de truncamiento propagado' que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de los dos es el 'error de truncamiento global o total'.

Al adquirir cierta comprensión de la magnitud y de las propiedades del error de truncamiento, puede desarrollarse el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuación diferencial que se va a integrar será de forma general: Conclusiones Algoritmo para el método de Euler Conceptos básicos Método de Euler Algoritmo computacional para resolver sistemas de EDO El código computacional para resolver una EDO con el método de Euler, puede fácilmente extenderse a sistemas de ecuaciones. Las modificaciones son:

1. Dar el número de ecuaciones, n.
2. Dar los valores iniciales para cada una de las n variables dependientes.
3. Modificar el algoritmo de manera que calcule las pendientes para cada una de las variables dependientes.
4. Incluir las ecuaciones adicionales para calcular los valores de la derivada por cada una de las dependientes.
5. Incluir loops para calcular un nuevo valor para cada variable dependiente.
Una ecuación diferencial, es una ecuación en la que intervienen una función incógnita, y una o varias de sus derivadas. Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) Si la función incógnita contiene una única variable independiente; entonces la ecuación se denomina: ecuación diferencial ordinaria, (de ahora en adelante será llamada EDO). y_(i+1)=y_i+f(x_i,y_i )h (25.2) Esta fórmula se conoce como método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto independiente). Se predice un nuevo valor de 'y' usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de 'x') para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso 'h' (figura 25.2) EJEMPLO 25.1 Método de Euler. Planteamiento del problema. Con el método de Euler integre numéricamente la ecuación (PT7.13): dy/dx=〖-2x〗^3+〖12x〗^2-20x+8.5 desde x = 0 hasta x = 4, con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1. Recuerde que la solución exacta está dada por la ecuación (PT7.16): y=〖-0.5x〗^4+〖4x〗^3-〖10x〗^2+8.5x+1 Solución. Se utiliza la ecuación (25.2) para implementar el método de Euler: y(0.5)=y(0)+f(0,1)0.5

donde y(0) = 1 y la pendiente estimada en x = 0 es: f(0,1)=-2(0)^3+12(0)^3-20(0)+8.5=8.5

Por lo tanto,
y(0.5)=1.0+8.5(0.5)=5.25

La solución verdadera en x = 0.5 es:
y=-0.5(0.5)^4+4(0.5)^3-10(0.5)^2+8.5(0.5)+1=3.21875 Así, el error es: o, expresada como error relativo porcentual,
En el segundo paso:

y(1)=y(0.5)+f(0.5,5.25)0.5
=5.25+[-2(0.5)^3+12(0.5)^2-20(0.5)+8.5]0.5
=5.875 Análisis del error para el método de Euler. 1. Errores de truncamiento, o de discretización, originados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2. Errores de redondeo, causados por el número limitado de cifras significativas que una computadora puede retener. Tabla 25.1 y^'=f(x,y) (25.3)
donde y^'=dy⁄(dx ), x y y son las variables independiente y dependiente, respectivamente. Si la solución (es decir, la función que describe el comportamiento de y) tiene derivadas continuas, se representa por una expansión de la serie de Taylor respecto a un valor inicial (x_i,y_i ) como sigue:
(25.4) donde h=x_(i+1)-x_i y R_n= término remanente, definido como:
(25.5) donde está en algún lugar en el intervalo de x_i a x_(i+1). Es posible desarrollar una forma alternativa, sustituyendo la ecuación (25.3) en las ecuaciones (25.4) y (25.5) para obtener: (25.6) donde O(h^(n+1) ) especifica que el error de truncamiento local es proporcional al tamaño de paso elevado a la potencia (n + 1).
Al comparar las ecuaciones (25.2) y (25.6), se advierte que el método de Euler corresponde a la serie de Taylor, hasta el término f(x_i,y_i )h inclusive. Además, la comparación indica que el error de truncamiento se debe a que aproximamos la solución verdadera mediante un número finito de términos de la serie de Taylor. Así, truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. Por ejemplo, el error de truncamiento en el método de Euler se atribuye a los términos remanentes en la expansión de la serie de Taylor, que no se incluyeron en la ecuación (25.2). Al restar la ecuación (25.2) de la (25.6) se llega a: (25.7) donde E_t = error de truncamiento local verdadero. Para h suficientemente pequeña, los errores en los términos de la ecuación (25.7) normalmente disminuyen, en tanto aumenta el orden y el resultado se representa como: (25.8) o donde E_a = error de truncamiento local aproximado. (25.9) La serie de Taylor ofrece un medio de cuantificar el error en el método de Euler. Aunque existen limitaciones asociadas con su empleo para tal propósito: 1. La serie de Taylor permite solo una estimación del error de truncamiento local; es decir, el error generado durante un solo paso del método. No ofrece una medida del error propagado, por lo tanto, ni el error de truncamiento global.
2. Como se mencionó anteriormente, en problemas reales por lo común se tienen funciones más complicadas que simples polinomios. En consecuencia, las derivadas que se necesitan para obtener la expansión de la serie de Taylor no siempre serán fáciles de calcular.
Los algoritmos para las técnicas de un paso como el método de Euler son muy simples de programar. Como se especificó al inicio de este documento, todos los métodos de un paso tienen la forma general:
Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso (25.10)
En lo único que difieren los métodos es en el cálculo de la pendiente.

Suponga que usted quiere realizar el cálculo simple expuesto en la tabla 25.1. Es decir, a usted le gustaría utilizar el método de Euler para integrar y^'=-2x^3+12x^2-20x+8.5, con la condición inicial de que y = 1 en x = 0. Usted quiere integrarla hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5, y desplegar todos los resultados. Un pseudocódigo simple para realizar esto será como en la figura 25.6. Aunque este programa “hará el trabajo” de duplicar los resultados de la tabla 25.1 no está muy bien diseñado. Primero, y ante todo, no es muy modular. Aunque esto no es muy importante para un programa así de pequeño, podría resultar crítico si deseamos modificar y mejorar el algoritmo. Además, existen algunos detalles relacionados con la forma en que se establecen las iteraciones. Por ejemplo, suponga que el tamaño de paso se volverá muy pequeño para obtener mayor exactitud. En tales casos, debido a que se despliega cada valor calculado, la cantidad de valores de salida podría ser muy grande. Asimismo, el algoritmo supone que el intervalo de cálculo es divisible entre el tamaño de paso. FIGURA 25.6 Pseudocódigo para una primera versión del método de Euler. FIGURA 25.7 Pseudocódigo para una versión modular “mejorada” del método de Euler. En la figura 25.7 se muestra un algoritmo mucho más medular que evita esas dificultades. El algoritmo no despliega todos los valores calculados. En lugar de eso, el usuario especifica un intervalo de salida, xout, que indica el intervalo en el cual los resultados calculados se guardan en arreglos, xp_m y yp_m. Dichos valores se guardan en arreglos, de tal modo que se pueden desplegar de diferentes formas una vez que termine el cálculo (por ejemplo, impresos graficados, escritos en un archivo).
El programa principal toma grandes pasos de salida y llama a una rutina denominada Integrator, que hace los pasos del cálculo más pequeños. Observe que los loops que controlan tanto los pasos grandes como los pequeños terminan basándose en condiciones lógicas. Así, los intervalos no tienen que ser divisibles entre los tamaños de paso.
Una manera de reducir el error con el método de Euler sería incluir términos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor para la solución. Por ejemplo, al incluir el término de segundo orden en la ecuación (25.6) resulta: como un error de truncamiento local de: Aunque la incorporación de términos de orden superior es simple para implementarse en los polinomios, su inclusión no es tan trivial cuando la EDO es más complicada. En particular, las EDO que están en función tanto de la variable dependiente como de la independiente requieren de la derivación usando la regla de la cadena. Por ejemplo, la primera derivada de f(x, y) es: La segunda derivada es: Las derivadas de orden superior se van haciendo cada vez más complicadas.
En consecuencia, se han desarrollado métodos alternativos de un paso. Estos esquemas son comparables en eficiencia con los procedimientos de la serie de Taylor de orden superior, aunque requieren sólo del cálculo de las primeras derivadas.

MEJORAS AL MÉTODO DE EULER Un motivo fundamental de error del método de Euler es suponer que la derivada al inicio del intervalo es la misma durante todo el intervalo. Hay dos modificaciones simples para evitar esta consideración. Método de Heun Emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo (una en el punto inicial y otra en el final). Las dos derivadas se promedian después con la finalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo.
Recuerde que En el método de Euler, la pendiente al inicio de un intérvalo:



se utiliza para extrapolar linealmente a y_(i+1):
(25.12) (25.13) En el método estándar de Euler se debería parar aquí. Sin embargo, en el método de Heun la y_(i+1)^0 calculada en la ecuación (25.13) no es la respuesta final, sino la predicción intermedia. Por consiguiente, la distinguimos con un superíndice 0. La ecuación (25.13) se llama ecuación predictora o simplemente predictor. Da una estimación de y_(i+1) que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo: Así, se combinan las dos pendientes [ecuaciones (25.12) y (25.14)] para obtener una pendiente promedio en el intervalo:



Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde y_i hasta y_(i+1)^' con el método de Euler:



que se conoce como ecuación correctora o simplemente corrector.
El método de Heun es un procedimiento predictor-corrector.
Podemos afirmar, que los problemas aquí expuestos resuelven EDO, de primer orden; y probablemente podemos destacar los errores que existen por cada uno, de los métodos.
Además que ambos métodos poseen una desventaja, que consiste en que los órdenes de precisión son bajos. Esta desventaja tiene dos facetas, para mantener una alta precisión se necesita una 'h' pequeña, lo que aumenta el tiempo de cálculo y provoca errores de redondeo.

UNIVERSIDAD JUÁREZ DEL ESTADO DE DURANGO

ESCUELA DE MATEMÁTICAS APLICADAS





LIC. EN MATEMÁTICAS APLICADAS


ALEJANDRA DÍAZ SOTO
KARLA VIRIDIANA MACÍAS LEYVA
ADRIANA GONZÁLEZ NÚÑEZ

MÉTODO DE EULER
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